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Lexikon der Mathematik: T-Konorm

allgemeiner binärer Operator, 1961 von Schweizer und Sklar eingeführt, der zusammen mit der T-Norm ein Operatorenpaar bildet.

Ein binärer Operator \begin{eqnarray}S:[0,1]\times [0,1]\to [0,1]\end{eqnarray} wird als Triangular Konorm oder kurz T-Konorm bezeichnet, wenn für alle a, b, c, d ∈ [0, 1] gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{lr}S(0,a)=a & {neutrales}\ {Element}\ 0\\ S(a,b)=S(b,a) & {Kommutativit}\it \unicode{x000E4;}\text{t}\\ S(a,S(b,c))=S(S(a,b),c) & {Assoziativit}\it \unicode{x000E4;}\text{t}\\ S(a,b)\le S(c,d) & \\ \text{wenn}\ a\le c\ \text{und}\ b\le d & {Monotonie}\end{array}\end{eqnarray}

Üblicherweise wird zusätzlich die Randbedingung S(1, 1) = 1 unterstellt.

Jede T-Konorm S wird eingeschränkt durch Extremoperatoren gemäß \begin{eqnarray}\max (a,b)\le S(a,b)\le {S}_{W}(a,b),\end{eqnarray} wobei die sog. drastische Summe SW definiert ist als \begin{eqnarray}{S}_{W}(a,b)=\left\{\begin{array}{ll}a & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ b=0\\ b & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ a=0\\ 1 & \text{sonst}\end{array}\right.\end{eqnarray}

Weitere spezielle T-Konormen sind die algebraische Summe unscharfer Mengen und die beschränkte Summe unscharfer Mengen. Eine flexible T-Konorm ist die von Yager vorgeschlagene parameterabhängige T-Konorm Sp \begin{eqnarray}{S}_{p}(a,b)=\min \ {(1,\ ({a}^{p}+{b}^{p}))}^{\frac{1}{p}}.\end{eqnarray}

Dabei ist p eine beliebig festzulegende reelle Zahl aus dem Intervall [0, +∞). Für p = 0 entspricht Sp der drastischen Summe, für p = 1 ist Sp gleich der beschränkten Summe, und für p → +∞ erhält man den Maximumoperator als Grenzwert.

Da Sp außerdem monoton fallend in p ist, gestattet dieser parameterabhängige Operator eine individuelle Festlegung der Vereinigung unscharfer Mengen in dem gesamten Bereich zwischen der drastischen Summe und dem Maximumoperator.

Eine andere Familie von T-Konormen bildet die parametrisierte Webersche T-Konorm Sλ, die für λ ∈ [−1, +∞) definiert ist als \begin{eqnarray}{S}_{\lambda}(a,b)=\min \ \left\{1,\ a+b-\frac{\lambda ab}{1+\lambda}\right\}.\end{eqnarray}

Speziell ergibt sich für λ → −1 die drastische Summe, für λ = 0 die beschränkte Summe, und für λ → +∞ die algebraische Summe.

Mathematisch attraktiv sind archimedische T-Konormen: Eine T-Konorm heißt archimedisch, wenn sie stetig ist, und wenn die Ungleichung \begin{eqnarray}S(a,a)\gt a\end{eqnarray} für alle a ∈ (0, 1) gilt. Die Funktion S : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] ist genau dann eine archimedische T-Konorm, wenn eine streng monoton steigende Funktion g : [0,1] → [0, +∞] existiert mit \begin{eqnarray}g(0)=0\ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ S(a,b)={g}^{-1}(g(a)+g(b)),\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}{g}^{-1}(y)=\left\{\begin{array}{cl}\{x\in [0,1]|g(x)=y\} & y\in [0,g(1)]\\ 0 & y\in [g(1),+\infty ]\end{array}\right.\end{eqnarray} ist. Gilt zusätzlich g(1) = +∞, so ist S streng monoton steigend in beiden Argumenten.

Ist g gleich gp : [0, 1] → [0, 1] mit \begin{eqnarray}{g}_{p}(x)={x}^{p},\ \ \ p\gt 0,\end{eqnarray} so induziert gp die Yagersche T-Konorm Sp.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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