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Lexikon der Mathematik: T-Norm

allgemeiner binärer Operator, 1961 von Schweizer und Sklar eingeführt, der zusammen mit der T-Konorm ein Operatorenpaar bildet.

Ein binärer Operator T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] wird als Triangular Norm oder kurz T-Norm bezeichnet, wenn für alle a, b, c, d ∈ [0, 1] gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{lr}T(a,1)=a & {neutrales}\ {Element}\ 1\\ T(a,b)=T(b,a) & {Kommutativit}\it \unicode{x000E4;}\text{t}\\ T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c) & {Assoziativit}\it \unicode{x000E4;}\text{t}\\ T(a,b)\le T(c,d), & \\ \text{wenn}\ a\le c\ \text{und}\ b\le d & {Monotonie}\end{array}\end{eqnarray}

Üblicherweise wird zusätzlich die Randbedingung T(0, 0) = 0 unterstellt.

Jede T-Norm T wird durch Extremoperatoren eingeschränkt gemäß \begin{eqnarray}{T}_{W}(a,b)\le T(a,b)\le \min (a,b),\end{eqnarray} wobei das sog. drastische Produkt TW definiert ist als \begin{eqnarray}{T}_{W}(a,b)=\left\{\begin{array}{ll}a & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ b=1\\ b & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ a=1\\ 0 & \text{sonst}\end{array}\right.\end{eqnarray}

Weitere spezielle T-Normen sind das algebraisches Produkt unscharfer Mengen und die beschränkte Differenz unscharfer Mengen. Eine flexible T-Norm ist die von Yager vorgeschlagene parameterabhängige T-Norm Tp, die definiert ist als \begin{eqnarray}{T}_{p}(a,b)=1-\min \left(1,\ {({(1-a)}^{p}+{(1-b)}^{p})}^{\frac{1}{p}}\right).\end{eqnarray}

Dabei ist p eine beliebig festzulegende reelle Zahl aus dem Intervall [0, +∞). Für p = 0 entspricht Tp dem drastischen Produkt, für p = 1 der beschränkten Differenz, und für p → +∞ erhält man den Minimumoperator als Grenzwert. Da außerdem Tp monoton steigend ist in p, gestattet dieser Operator eine individuelle Festlegung des Durchschnittes unscharfer Mengen in dem gesamten Bereich zwischen dem drastischen Produkt und dem Minimumoperator.

Eine andere Familie von T-Normen bildet die parametrisierte Webersche T-Norm Tλ, die für λ ∈ [−1, +∞) definiert ist als \begin{eqnarray}{T}_{\lambda}(a,b)=\frac{a+b-1+\lambda ab}{1+\lambda}.\end{eqnarray}

Speziell ergibt sich für λ → −1 das drastische Produkt, für λ = 0 die beschränkte Differenz, und für λ → +∞ das algebraische Produkt.

Mathematisch interessant sind archimedische T-Normen: Eine T-Norm heißt archimedisch, wenn sie stetig ist, und wenn die Ungleichung \begin{eqnarray}T(a,a)\lt a\end{eqnarray} für alle a ∈ (0, 1) gilt. Die Funktion T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] ist genau dann eine Archimedische T-Norm, wenn eine streng monoton fallende Funktion f : [0, 1] → [0, +∞] existiert mit \begin{eqnarray}f(1)=0\ \ \ \mathrm{und}\ \ \ T(a,\ b)={f}^{-1}(f(a)+f(b)),\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}{f}^{-1}(y)=\left\{\begin{array}{cl}\{x\in [0,1]|f(x)=y\} & y\in [0,f(0)]\\ 0 & y\in [f(0),+\infty ]\end{array}\right.\end{eqnarray} ist. Gilt zusätzlich f (0) = +∞, so ist T streng monoton fallend in beiden Argumenten.

Ist f gleich fp : [0, 1] → [0, 1] mit \begin{eqnarray}{f}_{p}(x)={(1-x)}^{p},\ \ \ \ p\gt 0,\end{eqnarray} so induziert fp die Yagersche T-Norm Tp.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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