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Lexikon der Mathematik: t-Test

eine Bezeichnung für einen Typus spezieller Signifikanztests, deren Teststatistik (Testgröße) T unter der Annahme der Gültigkeit der Nullhypothese H0 einer Studentschen t-Verteilung genügt (siehe auch Stichprobenfunktionen).

t-Tests werden u. a. zum Prüfen von Mittelwerten normalverteilter Grundgesamtheiten mit unbekannter Varianz verwendet. Man unterscheidet dabei den

  1. t-Test zum Prüfen eines Erwartungswertes EX gegen einen vorgegebenen Wert μ0
  2. t-Test zum Vergleich zweier Erwartungswerte EX1 und EX2 unabhängiger Stichproben
  3. t-Test zum Vergleich zweier Erwartungswerte EX1 und EX2 verbundener Stichproben

Tabelle 1 zeigt eine Übersicht über t-Tests zum Prüfen des Erwartungswertes EX einer normalverteilten Zufallsgröße X gegen einen vorgegebenen Wert μ0. Dabei sind \begin{eqnarray}\overline{X}=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\ {\rm{und}}\ {S}^{2}=\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline{X})}^{2}\end{eqnarray} die aus einer Stichprobe (X1,…, Xn) von X berechneten Schätzungen für den Erwartungswert und die Varianz von X (empirischer Mittelwert, empirische Streuung); tv(p) ist das untere p–Quantil (Quantil) der t-Verteilung mit v Freiheitsgraden.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel <i/>t-Test
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Tabelle 1: t-Tests zum Prüfen eines Erwartungswertes

Die t-Tests zum Prüfen der Hypothese \begin{eqnarray}{H}_{0}:E{X}_{1}=E{X}_{2}\end{eqnarray} auf Gleichheit der Erwartungswerte zweier verbundener Stichproben werden auf Tabelle 1 mit X = X1X2 und μ0 = 0 zurückgeführt.

Tabelle 2 zeigt eine Übersicht über die t-Tests zum Prüfen der Gleichheit der Erwartungswerte zweier unabhängiger Stichproben. Dabei werden für die Berechnung der Teststatistik T und der Freiheitsgrade v des t-Quantils zwei Fälle unterschieden:

a) X1 und X2 haben gleiche Varianzen, und b) die Varianzen von X1 und X2 sind ungleich, siehe Tabelle 3.

Abbildung 2 zum Lexikonartikel <i/>t-Test
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Tabelle 2: t-Tests zum Vergleich der Erwartungswerte zweier unabhängiger Stichproben

Tabelle 3: \(\hat{\sigma}\) und v zu Tabelle 2

Fall a): gleiche Varianzen: \begin{eqnarray}\hat{\sigma}=S\sqrt{\frac{1}{{n}_{1}}+\frac{1}{{n}_{2}}}\end{eqnarray} mit \({S}^{2}=\frac{({n}_{1}-1){S}_{1}^{2}+({n}_{2}-1){S}_{2}^{2}}{{n}_{1}+{n}_{2}-2}\) und v = n1 + n2 − 2

Fall b): ungleiche Varianzen: \begin{eqnarray}\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{{S}_{1}^{2}}{{n}_{1}}+\frac{{S}_{2}^{2}}{{n}_{2}}}\end{eqnarray}v wird approximiert durch \begin{eqnarray}v=\frac{{\hat{\sigma}}^{2}}{\left(\frac{{S}_{1}^{2}}{{n}_{1}}\right)\frac{1}{{n}_{1}+1}+\left(\frac{{S}_{2}^{2}}{{n}_{2}}\right)\frac{1}{{n}_{2}+1}}-2\ (\mathrm{ganzzahlig\ aufrunden})\end{eqnarray}

Liegt für die Zufallsgrößen keine Normalverteilung vor, so wird der t-Test aufgrund seiner Robustheit gegenüber Abweichungen von der Normalverteilung in der Regel trotzdem angewendet, wenn die Stichprobenumfänge n bzw. n1 und n2 hinreichend groß sind. Bei kleinen Stichprobenumfängen empfiehlt es sich, einen parameterfreien Rangtest, wie den U-Test von Mann und Whitney oder den Wilcoxon-Test anzuwenden.

Ein Beispiel. Zwei unterschiedlich organisierte Fertigungsstraßen zur Produktion von Fahrradfelgen sollen hinsichtlich der mittleren Durchlaufzeit EX1 und EX2 miteinander verglichen werden. Es soll überprüft werden, ob sich bei Fertigungsstraße 2 eine Verbessserung ergibt. Wir formulieren dieses Problem als einseitiges Testproblem für zwei unabhängige Stichproben mit der Alternative \begin{eqnarray}{H}_{1}:E{X}_{1}\gt E{X}_{2}.\end{eqnarray}

Zum Prüfen werden in jedem System n = 10 Durchlaufzeiten erfaßt. Aus diesen beiden Stichproben werden für die arithmetischen Mittel und die Streuungen folgende Werte berechnet:

Der F-Test auf Gleichheit der Varianzen ergibt für die Teststatistik F und die kritischen Werte ϵ1 und ϵ2: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}F & = & \frac{{s}_{1}^{2}}{{s}_{2}^{2}}=1,15,\ {\rm{und}}\\ {\varepsilon}_{1} & = & {F}_{{n}_{1}-1,{n}_{2}-1}(\frac{\alpha}{2})\\ & = & {F}_{9,9}(0,025)=\frac{1}{{F}_{9,9}(0,975)}=\frac{1}{4,026}=0,284\\ {\varepsilon}_{2} & = & {F}_{{n}_{1}-1,{n}_{2}-1}(1-\frac{\alpha}{2})={F}_{9,9}(0,975)=4,026\end{array}\end{eqnarray}

Da ϵ1 < F < ϵ2 gilt, sind die Varianzen als gleich anzusehen. Wir berechnen nun \(\hat{\sigma}\) und v gemäß Tabelle 3, Fall a), und führen den t-Test wie in Tabelle 2 beschrieben durch. Es ergibt sich \begin{eqnarray}{S}^{2}=\frac{9{(11,03)}^{2}+9{(10,8)}^{2}}{18}=113,67\\ {\rm{und}}\ S=10,66.\end{eqnarray}

Daraus erhalten wir \begin{eqnarray}\hat{\sigma}=10,66\sqrt{\frac{2}{10}}=4,77\\ {\rm{und}}\ v=10+10-2=18.\end{eqnarray}

Für die Teststatistik ergibt sich damit \begin{eqnarray}T=\frac{\overline{{X}_{1}}-\overline{{X}_{2}}}{\hat{\sigma}}=\frac{-1,7}{4,77}=-0,36\end{eqnarray}

Aus Tabellen der mathematischen Statistik liest man die kritischen Werte ab: \begin{eqnarray}\varepsilon ={t}_{18}(0,05)=-{t}_{18}(0,95)=-1,\ 734.\end{eqnarray}

Da T > ϵ ist, entscheiden wir uns für die Ablehnung von H0, d.h., die Variante 2 liefert kürzere Durchlaufzeiten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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