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Lexikon der Mathematik: Tangensfunktion

Tangens, ist definiert durch \begin{eqnarray}\tan z:\frac{\sin z}{\cos z}\end{eqnarray}

für z ∈ ℂ, \(z\ne (k+\frac{1}{2})\pi \), k ∈ ℤ.

Die Tangensfunktion ist eine in ℂ meromorphe Funktion mit einfachen Nullstellen an z = zk = kπ und einfachen Polstellen an \(z={\xi}_{k}=(k+\frac{1}{2})\pi \), jeweils k ∈ ℤ.

Für die Residuen gilt Res (tan, ζk) = −1, und für die Ableitung erhält man \begin{eqnarray}{\tan}^{\prime}z=\frac{1}{{\cos}^{2}\,z}=1+{\tan}^{2}\,z.\end{eqnarray}

Die Darstellung mittels der Exponentialfunktion lautet \begin{eqnarray}\tan z=i\frac{1-{e}^{2iz}}{1+{e}^{2iz}}=i\left(1-\frac{2}{1+{e}^{-2iz}}\right).\end{eqnarray}

Es ist tan eine periodische Funktion mit der Periode π. Es gilt das Additionstheorem \begin{eqnarray}\tan (w+z)=\frac{\tan w+\tan z}{1-\tan w\tan z},\end{eqnarray}

die Taylor-Reihe um 0 lautet \begin{eqnarray}\tan z=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{(-1)}^{n-1}\frac{{4}^{n}({4}^{n}-1){B}_{2n}}{(2n)!}{z}^{2n-1}\end{eqnarray}

für \(|z|\lt \frac{\pi}{2}\), wobei B2n die Bernoullischen Zahlen sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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