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Lexikon der Mathematik: Tangente

die eine Funktion an einer Differenzierbarkeitsstelle berührende Gerade.

Ist die auf der Menge D ⊂ ℝ definierte Funktion f : D → ℝ an der Stelle aD differenzierbar, so ist die Tangente Tf, a an f an der Stelle a (bzw. im Punkt (a, f (a)) der Graph der für x ∈ ℝ durch \begin{eqnarray}{\tau}_{f,a}(x)=f(a)+{f}^{\prime}(a)(x-a)\end{eqnarray}

definierten affin-linearen Funktion τf, a : ℝ → R. Die Funktion τf, a hat an der Stelle a den gleichen Funktionswert f (a) und die gleiche Steigung f′ (a) wie f selbst, berührt also f an der Stelle a (Berührung zweier Funktionen). Die Ableitung f′ (a) läßt sich als Grenzwert der Steigungen von Sekanten durch die Punkte (a, f (a)) und (a + h, f (a + h)) für h → 0 betrachten. In diesem Sinn ist die Tangente die ‚Grenzlage‘ von Sekanten an f.

Ist f an der Stelle a nicht differenzierbar, aber uneigentlich differenzierbar (uneigentliche Differenzierbarkeit), so sagt man auch, f habe an der Stelle a eine ‚senkrechte Tangente‘.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Tangente
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Für den Steigungswinkel α der Tangente an f an der Stelle a gilt im Fall von Differenzierbarkeit und mit der Vereinbarung tan(±π/2) = ±∞ auch bei uneigentlicher Differenzierbarkeit tan α = f′ (a).

Ein allgemeinerer Ansatz ist es, Tangenten an Kurven zu betrachten. Sei dazu Γ eine durch einen Weg γ : [r, s] → ℝn mit −∞ < r < s < ∞ parametrisierte Kurve. Ist g ∈ (Γ) ein Punkt auf der Kurve und t0 ∈ [r, s] mit g = γ(t0), und ist γ differenzierbar an der Stelle t0 mit γ′ (t0) ≠ 0, so ist die Tangente TΓ, g an Γ im Punkt g der Graph der für t ∈ ℝ durch \begin{eqnarray}{\tau}_{\Gamma,g}(t)=\gamma ({t}_{0})+{\gamma}^{\prime}({t}_{0})(t-{t}_{0})\end{eqnarray}

definierten affin-linearen Funktion τΓ, g : ℝ → ℝn.

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Tangente
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Dabei hängt zwar τΓ, g, jedoch nicht TΓ, g von der Wahl der Parametrisierung γ von Γ ab, denn γ′ (t0) ist ein Vektor in Tangentenrichtung, genannt Tangentenvektor oder Tangentialvektor, der zwar in der Größe, aber nicht in der Richtung von γ abhängt. Im Fall der Parametrisierung über die Bogenlänge ist er ein Einheitsvektor, genannt Tangenteneinheitsvektor.

Siehe hierzu auch Tangente an den Kreis, Tangente an die Ellipse, Tangente an die Hyperbel, Tangente an die Parabel, sowie Tangentenvektor an eine Kurve.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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