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Lexikon der Mathematik: Tangentenmethode

Verfahren, das gemeinsam mit der Sekantenmethode zur Konstruktion rationaler Punkte einer algebraischen Menge dient.

Zur Erläuterung betrachte man die Bachetschen Gleichung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{x}^{3}-{y}^{2}=c.\end{array}\end{eqnarray}

Die Menge aller reellen Lösungen dieser Gleichung ist ein Kurve C ⊂ ℝ2. Ist (x0, y0) ∈ C, so ist \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}2{y}_{0}(y-{y}_{0})=3{x}_{0}^{2}(x-{x}_{0})\end{array}\end{eqnarray}

die Gleichung der Tangente an C in diesem Punkt. Liegt (x, y) sowohl auf der Tagente als auch auf der Kurve C, so muß (x, y) sowohl Gleichung (1) als auch Gleichung (2) erfüllen. Nach kurzer Rechnung erhält man (im Fall y0 ≠ 0) für die x-Koordinate die Gleichung \begin{eqnarray}{(x-{x}_{0})}^{2}\left(x-\frac{{x}_{0}({x}_{0}^{3}+8c)}{4{y}_{0}^{2}}\right)=0.\end{eqnarray}

Daraus ergibt sich neben (x0, y0) noch ein Schnittpunkt der Tangente mit der Kurve, nämlich \begin{eqnarray}({x}_{1},{y}_{1})=\left(\frac{{x}_{0}({x}_{0}^{3}+{8}_{c})}{4{y}_{0}^{2}},{y}_{0}\frac{3{x}_{0}^{2}({x}_{1}-{x}_{0})}{2{y}_{0}}\right).\end{eqnarray}

Ist (x0, y0) rational mit y0 ≠ 0, so hat man auf diese Weise einen weiteren rationalen Punkt der durch Gleichung (1) gegebenen Kurve gefunden.

Beginnt man z. B. mit dem rationalen Punkt \begin{eqnarray}({x}_{0},{y}_{0})=(3,5)\end{eqnarray}

der Bachetschen Gleichung x3y2 = 2, so erhält man auf diese Weise den weiteren rationalen Punkt \begin{eqnarray}({x}_{1},{y}_{1})=\left(\frac{129}{100},\frac{383}{1000}\right),\end{eqnarray}

der auch von Bachet selbst angegeben wurde.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Tangentenmethode
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Die Tangente im rationalen Punkt (3, 5) schneidet die Kurve x3y2 = 2 in dem weiteren rationalen Punkt \((\frac{129}{100},\frac{383}{10000})\).

Ebenso wie die Sekantenmethode findet sich die Tangentenmethode implizit bereits in der „Arithmetika“ des Diophantos von Alexandria. Bachet gab 1621 diese „Arithmetika“, mit einem ausführlichen Kommentar versehen, heraus; daher wird die Tangentenmethode manchmal auch Bachet zugeschrieben.

Die Tangentenmethode wurde vielfach weiterentwickelt (zunächst von Euler und Cauchy) und wird in komplizierteren und allgemeineren Situationen angewandt, was mitunter technisch recht aufwendig ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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