Struktur, die den “Vergleich” von Vektoren in verschiedenen Tangentialräumen einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ermöglicht.

Als Menge ist das Tangentialbündel TM = ∪_p∈M T_p M die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume, also \begin{eqnarray}TM=\{(p,\upsilon):p\in M,\upsilon \in {T}_{p}(M)\}.\end{eqnarray}

Diese Menge wird durch folgenden Atlas zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit der Dimension 2n (mit n = dim M): Sei ϕ_∗ : T_pM → ℝⁿ die von einer Karte ϕ : U → U_ϕ ⊆ ℝⁿ um p ∈ M induzierte lineare Abbildung (Differential); dann liefert (p, v) 0→ (ϕ(p), ϕ_∗(v)) ∈ ℝⁿ × ℝⁿ die gewünschte Karte um (p, v).

Jede differenzierbare Abbildung ϕ : M → N zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten induziert einen Morphismus Φ_∗ : TM → TN der entsprechenden Tangentialbündel, welcher aus ϕ : M → N und den linearen Abbildungen ϕ_∗ : T_pM → T_ϕ(p)N besteht. Man nennt ϕ eine Immersion, falls Φ_∗ injektiv ist.

Ein glattes Vektorfeld ξ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ist ein glatter Schnitt des Tangentialbündels, also eine differenzierbare Abbildung ξ : M → TM so, daß π ∘ ξ die Identität ist. Hierbei ist π : TM → M die durch (p, v) ↦ p definierte Projektion.

Siehe auch Tangentialgarbe.