Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Tangentialbündel

Struktur, die den “Vergleich” von Vektoren in verschiedenen Tangentialräumen einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ermöglicht.

Als Menge ist das Tangentialbündel TM = ∪pM Tp M die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume, also \begin{eqnarray}TM=\{(p,\upsilon):p\in M,\upsilon \in {T}_{p}(M)\}.\end{eqnarray}

Diese Menge wird durch folgenden Atlas zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit der Dimension 2n (mit n = dim M): Sei ϕ : TpM → ℝn die von einer Karte ϕ : UUϕ ⊆ ℝn um pM induzierte lineare Abbildung (Differential); dann liefert (p, v) 0→ (ϕ(p), ϕ(v)) ∈ ℝn × ℝn die gewünschte Karte um (p, v).

Jede differenzierbare Abbildung ϕ : MN zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten induziert einen Morphismus Φ : TMTN der entsprechenden Tangentialbündel, welcher aus ϕ : MN und den linearen Abbildungen ϕ : TpMTϕ(p)N besteht. Man nennt ϕ eine Immersion, falls Φ injektiv ist.

Ein glattes Vektorfeld ξ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ist ein glatter Schnitt des Tangentialbündels, also eine differenzierbare Abbildung ξ : MTM so, daß πξ die Identität ist. Hierbei ist π : TMM die durch (p, v) ↦ p definierte Projektion.

Siehe auch Tangentialgarbe.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos