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Lexikon der Mathematik: Tangentialebene

die Ebene TP (\({\mathcal{F}}\)) ⊂ ℝ3, die mit einer regulären Fläche \({\mathcal{F}}\) ⊂ ℝ3 in einem gegebenen Punkt P ∈ \({\mathcal{F}}\) einen Kontakt erster Ordnung hat.

Ist Φ(u, v) eine Parameterdarstellung der Fläche \({\mathcal{F}}\) (Parameterdarstellung einer Fläche), d. h., eine differenzierbare, bijektive Abbildung von einer offenen Teilmenge \({\mathcal{U}}\) ⊂ ℝ2 auf eine offene, den Punkt P enthaltende Teilmenge \({\mathcal{V}}\) ⊂ \({\mathcal{F}}\) ⊂ ℝ3, so gilt P = Φ(u0, v0) für eindeutig bestimmte Parameterwerte (u0, v0) ∈ \({\mathcal{U}}\), und die Tangentialvektoren \begin{eqnarray}{\Phi}_{u}^{(0)}=\frac{\partial \Phi ({u}_{0},{\upsilon}_{0})}{\partial u}\quad \text{und}\quad {\Phi}_{\upsilon}^{(0)}=\frac{\partial \Phi ({u}_{0},{\upsilon}_{0})}{\partial \upsilon}\end{eqnarray}

an die Parameterlinien v = v0 bzw. u = u0 durch P sind linear unabhängig. Unter diesen Voraussetzungen wird TP (\({\mathcal{F}}\)) durch die Parameterdarstellung \begin{eqnarray}X(s,t)=P+t{\Phi}_{u}^{(0)}+s{\Phi}_{\upsilon}^{(0)}\end{eqnarray}

oder durch die Gleichung \begin{eqnarray}\langle X-P,{{\mathfrak{n}}}^{(0)}\rangle =0\end{eqnarray}

beschrieben, in der 𝔫(0) einen Normalenvektor der Fläche \({\mathcal{F}}\) im Punkt P bezeichnet, für den man in der Regel \({{\mathfrak{n}}}^{(0)}={\Phi}_{u}^{(0)}\times {\Phi}_{\upsilon}^{(0)}\) oder den zugehörigen Einheitsnormalenvektor wählt.

Wenn \({\mathcal{F}}\) als Graph einer differenzierbaren Funktion z = f(x, y) zweier Veränderlicher gegeben ist und P die Koordinaten P = (x(0), y(0), f(x(0), y(0))) hat, setzt man \begin{eqnarray}{z}^{(0)}=f({x}^{(0)},{y}^{(0)}),\,{z}_{x}^{(0)}=\frac{\partial f({x}^{(0)},{y}^{(0)})}{\partial x},\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}{z}_{y}^{(0)}=\frac{\partial f({x}^{(0)},{y}^{(0)})}{\partial y},\end{eqnarray}

und erhält die Parameterdarstellung und die Gleichung der Tangentialebene durch P in der Form \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta \\ \zeta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^{(0)}\\ {y}^{(0)}\\ {z}^{(0)}\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ {z}_{x}^{(0)}\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ {z}_{y}^{(0)}\end{array}\right)\end{eqnarray}

bzw. \begin{eqnarray}z-{z}^{(0)}={z}_{x}^{(0)}(x-{x}^{(0)})+{z}_{y}^{(0)}(y-{y}^{(0)}).\end{eqnarray}

Allgemeiner ist der Begriff des Kontaktes erster Ordnung zweier k-dimensionaler Untermannigfaltigkeiten N1, N2 ⊂ ℝn für beliebiges nk in einem gemeinsamen Punkt P ∈ \({\mathcal{N}}\)1 ∩ \({\mathcal{N}}\)2 durch folgende Bedingung definiert: Es gibt Parameterdarstellungen Φ1 und Φ2 von N1 bzw. N2, die als differenzierbare Abbildungen auf einem gemeinsamen Parameterbereich \({\mathcal{U}}\) ⊂ ℝk definiert sind, die

(a) \({\mathcal{U}}\) diffeomorph auf offene Mengen \({\mathcal{V}}\)1N1 bzw \({\mathcal{V}}\)2N2 abbilden,

(b) in einem Punkt Q ∈ \({\mathcal{U}}\) den gleichen Wert Φ1(Q) = Φ2(Q) = P haben, und

(c) deren partielle Ableitungen in Q gleich sind: \begin{eqnarray}\frac{\partial {\Phi}_{1}(Q)}{\partial {u}_{i}}=\frac{\partial {\Phi}_{2}(Q)}{a{u}_{i}}\,\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\ i=1,\ldots, k.\end{eqnarray}

Ist eine dieser Untermannigfaltigkeiten, etwa N2, ein k-dimensionaler affiner Unterraum, so ist N2 der Tangentialraum Tp(N1) von N1 im Punkt P. Tp(N1) ist durch die beiden Eigenschaften, affiner Unterraum zu sein und mit N1 im Punkt P einen Kontakt erster Ordnung zu haben, eindeutig bestimmt. Mit dieser Definition des Tangentialraums wird der Begriff der Tangentialebene verallgemeinert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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