die Ebene T_P (\({\mathcal{F}}\)) ⊂ ℝ³, die mit einer regulären Fläche \({\mathcal{F}}\) ⊂ ℝ³ in einem gegebenen Punkt P ∈ \({\mathcal{F}}\) einen Kontakt erster Ordnung hat.

Ist Φ(u, v) eine Parameterdarstellung der Fläche \({\mathcal{F}}\) (Parameterdarstellung einer Fläche), d. h., eine differenzierbare, bijektive Abbildung von einer offenen Teilmenge \({\mathcal{U}}\) ⊂ ℝ² auf eine offene, den Punkt P enthaltende Teilmenge \({\mathcal{V}}\) ⊂ \({\mathcal{F}}\) ⊂ ℝ³, so gilt P = Φ(u₀, v₀) für eindeutig bestimmte Parameterwerte (u₀, v₀) ∈ \({\mathcal{U}}\), und die Tangentialvektoren \begin{eqnarray}{\Phi}_{u}^{(0)}=\frac{\partial \Phi ({u}_{0},{\upsilon}_{0})}{\partial u}\quad \text{und}\quad {\Phi}_{\upsilon}^{(0)}=\frac{\partial \Phi ({u}_{0},{\upsilon}_{0})}{\partial \upsilon}\end{eqnarray}

an die Parameterlinien v = v₀ bzw. u = u₀ durch P sind linear unabhängig. Unter diesen Voraussetzungen wird T_P (\({\mathcal{F}}\)) durch die Parameterdarstellung \begin{eqnarray}X(s,t)=P+t{\Phi}_{u}^{(0)}+s{\Phi}_{\upsilon}^{(0)}\end{eqnarray}

oder durch die Gleichung \begin{eqnarray}\langle X-P,{{\mathfrak{n}}}^{(0)}\rangle =0\end{eqnarray}

beschrieben, in der 𝔫⁽⁰⁾ einen Normalenvektor der Fläche \({\mathcal{F}}\) im Punkt P bezeichnet, für den man in der Regel \({{\mathfrak{n}}}^{(0)}={\Phi}_{u}^{(0)}\times {\Phi}_{\upsilon}^{(0)}\) oder den zugehörigen Einheitsnormalenvektor wählt.

Wenn \({\mathcal{F}}\) als Graph einer differenzierbaren Funktion z = f(x, y) zweier Veränderlicher gegeben ist und P die Koordinaten P = (x⁽⁰⁾, y⁽⁰⁾, f(x⁽⁰⁾, y⁽⁰⁾))^⊤ hat, setzt man \begin{eqnarray}{z}^{(0)}=f({x}^{(0)},{y}^{(0)}),\,{z}_{x}^{(0)}=\frac{\partial f({x}^{(0)},{y}^{(0)})}{\partial x},\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}{z}_{y}^{(0)}=\frac{\partial f({x}^{(0)},{y}^{(0)})}{\partial y},\end{eqnarray}

und erhält die Parameterdarstellung und die Gleichung der Tangentialebene durch P in der Form \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta \\ \zeta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^{(0)}\\ {y}^{(0)}\\ {z}^{(0)}\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ {z}_{x}^{(0)}\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ {z}_{y}^{(0)}\end{array}\right)\end{eqnarray}

bzw. \begin{eqnarray}z-{z}^{(0)}={z}_{x}^{(0)}(x-{x}^{(0)})+{z}_{y}^{(0)}(y-{y}^{(0)}).\end{eqnarray}

Allgemeiner ist der Begriff des Kontaktes erster Ordnung zweier k-dimensionaler Untermannigfaltigkeiten N₁, N₂ ⊂ ℝⁿ für beliebiges n ≥ k in einem gemeinsamen Punkt P ∈ \({\mathcal{N}}\)₁ ∩ \({\mathcal{N}}\)₂ durch folgende Bedingung definiert: Es gibt Parameterdarstellungen Φ₁ und Φ₂ von N₁ bzw. N₂, die als differenzierbare Abbildungen auf einem gemeinsamen Parameterbereich \({\mathcal{U}}\) ⊂ ℝ^k definiert sind, die

(a) \({\mathcal{U}}\) diffeomorph auf offene Mengen \({\mathcal{V}}\)₁ ⊂ N₁ bzw \({\mathcal{V}}\)₂ ⊂ N₂ abbilden,

(b) in einem Punkt Q ∈ \({\mathcal{U}}\) den gleichen Wert Φ₁(Q) = Φ₂(Q) = P haben, und

(c) deren partielle Ableitungen in Q gleich sind: \begin{eqnarray}\frac{\partial {\Phi}_{1}(Q)}{\partial {u}_{i}}=\frac{\partial {\Phi}_{2}(Q)}{a{u}_{i}}\,\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\ i=1,\ldots, k.\end{eqnarray}

Ist eine dieser Untermannigfaltigkeiten, etwa N₂, ein k-dimensionaler affiner Unterraum, so ist N₂ der Tangentialraum T_p(N₁) von N₁ im Punkt P. T_p(N₁) ist durch die beiden Eigenschaften, affiner Unterraum zu sein und mit N₁ im Punkt P einen Kontakt erster Ordnung zu haben, eindeutig bestimmt. Mit dieser Definition des Tangentialraums wird der Begriff der Tangentialebene verallgemeinert.