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Lexikon der Mathematik: Tangentialgarbe

Begriff aus der Garbentheorie.

Sei X eine algebraische Varietät oder ein algebraisches Schema über einem Körper k, oder auch ein komplexer Raum (wobei dann k = ℂ ist). Eine k-Derivation auf einer offenen Menge UX ist ein k-linearer Garbenhomomorphismus D : \({\mathcal{O}}\)X |U → \({\mathcal{O}}\)X |U, der die Leibnizregel \begin{eqnarray}D(fg)=fD(g)+gD(f)\end{eqnarray}

erfüllt. Die Derivationen bilden eine Garbe ΘX = ΘX|k von \({\mathcal{O}}\)X-Moduln durch \begin{eqnarray}U\mapsto {\Theta}_{X}(U)= \text {Menge aller}\,{k-\text {Derivationen}},\,{{\mathcal{O}}}_{X}|U\to {{\mathcal{O}}}_{X}|U,\end{eqnarray} und diese Garbe heißt die Tangentialgarbe. Sie läßt sich auch beschreiben als \({\Theta}_{X}= {\mathcal H} o{m}_{{{\mathcal{O}}}_{X}}({\Omega}_{X|k}^{1},{{\mathcal{O}}}_{X})\). Das Bündel \begin{eqnarray}T(X)={\mathbb{V}}({\Omega}_{X|k}^{1})\to X\end{eqnarray}

(relatives Spektrum) heißt Tangentialbündel. Die Garbe der lokalen Schnitte von T(X) über X ist also die Tangentialgarbe ΘX.

Die Fasern von T(X) → X sind die Tangentialräume. Wenn X in einem affinen Raum 𝔸n eingebettet ist, so liefert die Surjektion \begin{eqnarray}{\Omega}_{{{\mathbb{A}}}^{n}|k}^{1}|X\simeq {{\mathcal{O}}}_{X}^{n}\to {\Omega}_{X|k}^{1}\end{eqnarray}

eine Einbettung \begin{eqnarray}T(X)\subset {\mathbb{V}}({\Omega}_{{{\mathbb{A}}}^{n}|k}^{1}|{{\mathcal{O}}}_{X})\cong X\times {{\mathbb{A}}}^{n}\end{eqnarray}

(über X), in diesem Fall ist also der Tangentialraum Tx(X) als linearer Unterraum in 𝔸n eingebettet. Zu jeder abgeschlossenen Einbettung XY algebraischer Schemata oder komplexer Räume (analytischer Raum) erhält man eine exakte Folge \begin{eqnarray}{{\mathcal{N}}}_{X|Y}^{*}\to {\Omega}_{Y|k}^{1}|X\to {\Omega}_{X|k}^{1}\to 0\end{eqnarray}

(Normalenbündel), und dementsprechend exakte Folgen \begin{eqnarray}0\to {\Theta}_{X}\to {\Theta}_{Y}|X-{{\mathcal{N}}}_{X|Y}\end{eqnarray}

(\({\mathcal{N}}\)X|Y die Normalengarbe) bzw. \begin{eqnarray}0\to T(X)\to T(Y)|X\to {N}_{X|Y}.\end{eqnarray}

Wenn X und Y glatt sind, so ist \(\begin{eqnarray}{\Theta}_{Y}|X\to {{\mathcal{N}}}_{X/Y}\end{eqnarray}\) bzw. T(Y) | XNX|Y surjektiv.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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