Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Tangentialkegel

Begriff aus der Theorie der affinen Hyperflächen bzw. der algebraischen Geometrie.

Eine Menge C ⊂ ℂn bezeichnet man als Kegel mit Spitze p, wenn gilt: \begin{eqnarray}p\in C,q\in C-p\Rightarrow L(q)\subseteq C.\end{eqnarray}

Dabei bezeichne L(q) die Gerade durch p und q. Man spricht von einem algebraischen Kegel, wenn C zudem noch eine algebraische Menge ist.

Sei f ∈ ℂ[z1,…,zn] \ {0}, X = V(f) die Nullstellenmenge von f, und sei pX. Die Vereinigung aller Tangenten L an X in p (d. h. aller Geraden L ⊆ ℂn durch p, für deren Schnittvielfachheit mit X in p \begin{eqnarray}{\mu}_{p}(X\cdot L)\gt {\mu}_{p}(X)\end{eqnarray}

gilt) bildet einen Kegel mit Spitze p. Diesen Kegel nennt man den Tangentialkegel zu X in p und bezeichnet ihn mit cTp(X), also \begin{eqnarray}c{T}_{p}(X)=\displaystyle \mathop{\bigcup}\limits_{{\mu}_{p}(X\cdot L)\gt {\mu}_{p}(X)}L.\end{eqnarray}

Es gilt der folgende Satz:

Sei f ∈ ℂ[z1,…,zn] \ {0} quadratfrei, und sei pX = V f. Ist f(p)der Leitterm von f an der Stelle p, so gilt \begin{eqnarray}c{T}_{p}(X)=V({f}^{(p)}).\end{eqnarray}

Insbesondere ist also der Tangentialkegel ein algebraischer Kegel.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos