Vektorraum der Derivationen.

Ist M eine komplexe Mannigfaltigkeit, p ∈ M ein beliebiger Punkt, und z = (z₁,…,z_n) ein beliebiges holomorphes Koordinatensystem um p, dann kann man den Tangentialraum an M an der Stelle p auf drei verschiedene Arten beschreiben:

1. T_{ℝ, p}(M) ist der gewöhnliche reelle Tangentialraum an M an der Stelle p, wobei M als reelle Mannigfaltigkeit der Dimension 2n betrachtet wird. Er kann realisiert werden als Raum der ℝ-linearen Derivationen auf dem Ring der reellwertigen C^∞ – Funktionen in einer Umgebung von p, d. h., mit z_i = x_i + iy_i gilt \begin{eqnarray}{T}_{{\mathbb{R}},p}(M)={\mathbb{R}}\left\{\frac{\partial}{\partial {x}_{i}},\frac{\partial}{\partial {y}_{i}}\right\}.\end{eqnarray}

2. T_{ℂ, p}(M) = T_{ℝ, p}(M) ⊗_ℝ ℂ

ist der komplexifizierte Tangentialraum an M an der Stelle p. Er kann realisiert werden als Raum der C-linearen Derivationen auf dem Ring der komplexwertigen C^∞-Funktionen in einer Umgebung von p. Es gilt \begin{eqnarray}{T}_{{\mathbb{C}},p}(M)={\mathbb{C}}\left\{\frac{\partial}{\partial {x}_{i}},\frac{\partial}{\partial {y}_{i}}\right\}={\mathbb{C}}\left\{\frac{\partial}{\partial {z}_{i}},\frac{\partial}{\partial {z}_{i}}\right\}.\end{eqnarray}

3. \begin{eqnarray}{{T}^{\prime}}_{p}(M)={\mathbb{C}}\left\{\displaystyle\frac{\partial}{\partial {z}_{i}}\right\}\subset {T}_{{\mathbb{C}},p}(M)\end{eqnarray} heißt holomorpher Tangentialraum an M an der Stelle p. Er kann realisiert werden als der Unterraum von T_{ℂ, p}(M), der aus den Derivationen besteht, die auf den antiholomorphen Funktionen (d. h. f so, daß \(\bar{f}\) holomorph ist) verschwinden.

Der Unterraum \begin{eqnarray}{{T}{^{\prime\prime}_{p}}}(M)={\mathbb{C}}\left\{\frac{\partial}{\partial \bar{{z}_{i}}}\right\}\subset {T}_{{\mathbb{C}},p}(M)\end{eqnarray}

heißt antiholomorpher Tangentialraum an M an der Stelle p; es gilt \begin{eqnarray}{T}_{{\mathbb{C}},p}(M)={{T}^{\prime}_{p}}(M)\oplus {{T}{^{\prime\prime} _{p}}}(M).\end{eqnarray}

[1] Griffiths, P.; Harris, J.: Principles of Algebraic Geometry. Pure & Applied Mathematics John Wiley & Sons New York Toronto, 1978.