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Lexikon der Mathematik: Tangentialraum

Verallgemeinerung des Tangentenbegriffs aus der reellen Analysis.

Seien M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, pM ein Punkt auf M, und f, g differenzierbare reellwertige Funktionen in Umgebungen von p. Man nennt fg äquivalent, wenn es eine Umgebung von p gibt, auf der f und g übereinstimmen. Die Äquivalenzklassen dieser Funktionen nennt man Keime differenzierbarer Funktionen auf M um p, und die Menge \({\mathcal{E}}\)p(M) aller solchen Keime bildet ersichtlich einen R-Vektorraum. Der Tangentialraum Tp(M) kann algebraisch definiert werden als der R-Vektorraum der Derivationen auf \({\mathcal{E}}\)p(M), also der linearen Abbildungen v : \({\mathcal{E}}\)p(M) → ℝ mit v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g).

Daneben kann man TpM noch geometrisch über Äquivalenzklassen glatter Kurven durch p oder explizit mit Hilfe von Kartenwechseln definieren. Die Dimension dim M der Mannigfaltigkeit stimmt mit der ℝ-Vektorraumdimension dim TpM jedes Tangentialraums überein.

Jede differenzierbare Abbildung ϕ : MN zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten induziert für jedes pM eine lineare Abbildung ϕ : TpMTϕ(p)N zwischen den entsprechenden Tangentialräumen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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