Verallgemeinerung des Tangentenbegriffs aus der reellen Analysis.

Seien M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, p ∈ M ein Punkt auf M, und f, g differenzierbare reellwertige Funktionen in Umgebungen von p. Man nennt f ∼ g äquivalent, wenn es eine Umgebung von p gibt, auf der f und g übereinstimmen. Die Äquivalenzklassen dieser Funktionen nennt man Keime differenzierbarer Funktionen auf M um p, und die Menge \({\mathcal{E}}\)_p(M) aller solchen Keime bildet ersichtlich einen R-Vektorraum. Der Tangentialraum T_p(M) kann algebraisch definiert werden als der R-Vektorraum der Derivationen auf \({\mathcal{E}}\)_p(M), also der linearen Abbildungen v : \({\mathcal{E}}\)_p(M) → ℝ mit v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g).

Daneben kann man T_pM noch geometrisch über Äquivalenzklassen glatter Kurven durch p oder explizit mit Hilfe von Kartenwechseln definieren. Die Dimension dim M der Mannigfaltigkeit stimmt mit der ℝ-Vektorraumdimension dim T_pM jedes Tangentialraums überein.

Jede differenzierbare Abbildung ϕ : M → N zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten induziert für jedes p ∈ M eine lineare Abbildung ϕ_∗ : T_pM → T_ϕ(p)N zwischen den entsprechenden Tangentialräumen.

Siehe auch Tangentialebene und Zariski-Tangentialraum.