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Lexikon der Mathematik: Taylor-Polynom

das zu einer auf einem offenen Intervall I ⊂ ℝ definierten, k-mal (k ∈ ℕ0) an einer Stelle aI differenzierbaren Funktion f : I → ℝ gehörende Polynom \begin{eqnarray}{T}_{k}(f,a)(x)=\displaystyle \sum _{\kappa =0}^{x}\frac{{f}^{(\kappa)}(a)}{\kappa !}{(x-a)}^{\kappa}.\end{eqnarray}

Tk(f, a)(x) heißt Taylor-Polynom der Ordnung k zu f an der Entwicklungsstelle a.

T0(f, a) ist das Polynom mit dem konstanten Wert f(a), T1(f, a) eine affinlineare und T2(f, a) eine quadratische Näherung an f. Allgemein ist Tk(f, a) gerade das (eindeutig bestimmte) Polynom Pk vom Grad höchstens k, das an der Stelle a bis zur k-ten Ableitung mit f übereinstimmt, d. h. für das \({P}_{k}^{(\kappa)}(a)={f}^{(\kappa)}(a)\) gilt für alle κ ∈ {0,…,k}. Das Taylor-Polynom kann also auch als Lösung eines speziellen Hermite-Interpolationsproblems aufgefaßt werden.

Für ‚gutartige‘ Funktionen f liefern mit wachsendem k die Taylor-Polynome Tk(f, a) in der Umgebung von a immer bessere Annäherungen an f. Genaueres hierzu sagen etwa der Satz von Bernstein (Bernstein, Satz von, über Taylorreihen) und vor allem der Satz von Taylor (Taylor, Satz von).

Die Folge der Taylor-Polynome zu einer Funktion an einer festen Entwicklungsstelle ist ihre Taylor-Reihe an dieser Stelle.

Diese Begriffe lassen sich in natürlicher Weise auf die mehrdimensionale Situation verallgemeinern:

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Taylor-Polynom
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Ist n ∈ ℕ, U ⊂ ℝn, k ∈ ℕ0 und f : U → ℝ k-mal differenzierbar an der inneren Stelle aU, so heißt das Polynom in n Variablen x = (x1,…,xn) \begin{eqnarray}{T}_{k}(f,a)(x)=\displaystyle \sum _{|\kappa |\le k}\frac{{\text{D}}^{\kappa}f(a)}{\kappa !}{(x-a)}^{\kappa}\end{eqnarray}

Taylor-Polynom von f der Ordnung k an der Entwicklungsstelle a, wobei |κ| = κ1 + · · · + κn sei füreinen Multiindex \(\kappa =({\kappa}_{1},\ldots, {\kappa}_{n})\in {{\mathbb{N}}}_{0}^{n}\) ferner κ! = κ1! · · · · · κn! sowie \({\xi}^{\kappa}={\xi}_{1}^{{\kappa}_{1}}\cdot \cdots \cdot {\xi}_{n}^{{\kappa}_{n}}\) für ξ ∈ Rn und D den Differentialoperator bezeich net.

[1] Hoffmann, D.: Analysis für Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure. Springer Berlin, 1995.
[2] Kaballo, W.: Einführung in die Analysis I, II. Spektrum Heidelberg, 2000, 1997.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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