das zu einer auf einem offenen Intervall I ⊂ ℝ definierten, k-mal (k ∈ ℕ₀) an einer Stelle a ∈ I differenzierbaren Funktion f : I → ℝ gehörende Polynom \begin{eqnarray}{T}_{k}(f,a)(x)=\displaystyle \sum _{\kappa =0}^{x}\frac{{f}^{(\kappa)}(a)}{\kappa !}{(x-a)}^{\kappa}.\end{eqnarray}

T_k(f, a)(x) heißt Taylor-Polynom der Ordnung k zu f an der Entwicklungsstelle a.

T₀(f, a) ist das Polynom mit dem konstanten Wert f(a), T₁(f, a) eine affinlineare und T₂(f, a) eine quadratische Näherung an f. Allgemein ist T_k(f, a) gerade das (eindeutig bestimmte) Polynom P_k vom Grad höchstens k, das an der Stelle a bis zur k-ten Ableitung mit f übereinstimmt, d. h. für das \({P}_{k}^{(\kappa)}(a)={f}^{(\kappa)}(a)\) gilt für alle κ ∈ {0,…,k}. Das Taylor-Polynom kann also auch als Lösung eines speziellen Hermite-Interpolationsproblems aufgefaßt werden.

Für ‚gutartige‘ Funktionen f liefern mit wachsendem k die Taylor-Polynome T_k(f, a) in der Umgebung von a immer bessere Annäherungen an f. Genaueres hierzu sagen etwa der Satz von Bernstein (Bernstein, Satz von, über Taylorreihen) und vor allem der Satz von Taylor (Taylor, Satz von).

Die Folge der Taylor-Polynome zu einer Funktion an einer festen Entwicklungsstelle ist ihre Taylor-Reihe an dieser Stelle.

Diese Begriffe lassen sich in natürlicher Weise auf die mehrdimensionale Situation verallgemeinern:

Ist n ∈ ℕ, U ⊂ ℝⁿ, k ∈ ℕ₀ und f : U → ℝ k-mal differenzierbar an der inneren Stelle a ∈ U, so heißt das Polynom in n Variablen x = (x₁,…,x_n) \begin{eqnarray}{T}_{k}(f,a)(x)=\displaystyle \sum _{|\kappa |\le k}\frac{{\text{D}}^{\kappa}f(a)}{\kappa !}{(x-a)}^{\kappa}\end{eqnarray}

Taylor-Polynom von f der Ordnung k an der Entwicklungsstelle a, wobei |κ| = κ₁ + · · · + κ_n sei füreinen Multiindex \(\kappa =({\kappa}_{1},\ldots, {\kappa}_{n})\in {{\mathbb{N}}}_{0}^{n}\) ferner κ! = κ₁! · · · · · κ_n! sowie \({\xi}^{\kappa}={\xi}_{1}^{{\kappa}_{1}}\cdot \cdots \cdot {\xi}_{n}^{{\kappa}_{n}}\) für ξ ∈ R_n und D den Differentialoperator bezeich net.

[1] Hoffmann, D.: Analysis für Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure. Springer Berlin, 1995.
[2] Kaballo, W.: Einführung in die Analysis I, II. Spektrum Heidelberg, 2000, 1997.