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Lexikon der Mathematik: Technomathematik

Der Name Technomathematik ist etwas über zwanzig Jahre alt; er wurde 1979 in Kaiserslautern für ein neues Studienprogramm, das Mathematik und Technik besser verschmelzen sollte, geprägt.

Die Einführung eines Diplomstudiengangs Mathematik in den Vierzigerjahren des 20. Jahrhunderts entsprang einer ähnlichen Motivation: Neben das Lehramtsstudium sollte ein Studium der Mathematik treten, das den Möglichkeiten dieser Wissenschaft in Technik und Industrie entsprach. Daß diese Diplommathematiker im Laufe der Zeit immer weniger „angewandt“ wurden, hat sicher mit der deutschen Geschichte zu tun; jedenfalls zeigten Untersuchungen um 1975, daß die Diplomausbildung wenig mit der Berufspraxis in Wirtschaft und Industrie zu tun hatte – zum Nachteil der Mathematiker, die oft als „Aushilfsinformatiker“ genutzt wurden. Es gab an vielen Orten Bemühungen, dies zu verändern – eine dieser Bemühungen war die Einführung des Studiengangs Technomathematik. Daß diese Bemühung heute als eine der erfolgreichsten angesehen werden kann – der Studiengang hat sich an etwa 20 deutschen und mehreren europäischen Hochschulen etabliert – hängt wohl damit zusammen, daß die Verbindung von (mathematischer) Theorie mit Praxis sowohl den Wünschen eben dieser Praxis wie auch den Vorstellungen von Studenten entsprach. Ähnliches gilt für die Wirtschaftsmathematik und die Finanzmathematik. Alle diese Studiengänge sind keine Massenveranstaltungen – in Technomathematik nehmen sicher nicht mehr als 200 Studenten jährlich ein solches Studium auf; dies macht aber andererseits Qualitätskontrolle und Garantie erst möglich und führt dazu, daß Technomathematiker in der Industrie, aber auch in der ingenieurwissenschaftlichen Forschung sehr gesucht sind. Die für den Studiengang erforderliche enge Verzahnung mit der Praxis hat auch die Forschung stark beeinflußt. Deshalb ist Technomathematik heute auch die Bezeichnung für ein Forschungsgebiet. Dabei erfolgt die Definition dieses Begriffs weniger über die Inhalte, wie dies etwa in Algebra oder Analysis der Fall ist, sie bezieht sich vielmehr auf den Ursprung der mathematischen Probleme, mit denen sich diese Forschung beschäftigt, sowie auf ihre Ziele und die Interpretation der Ergebnisse. Technomathematik in diesem Sinn ist eine interdisziplinäre Tätigkeit, die auf moderner Mathematik basiert, sie ist eine „Technologie“.

Technomathematik als Forschungsgebiet

Die Art, wie technische Systeme erfunden oder weiterentwickelt werden, hat sich in den letzten zwanzig Jahren stark verändert. An Stelle von Realexperimenten tritt mehr und mehr die Computersimulation; man arbeitet zunehmend in virtuellen statt in realen Welten. Computersimulation meint die Abbildung eines realen (z. B. technischen) Systems in den Rechner: Das virtuelle System verhält sich dabei „im wesentlichen“ wie das reale System. Diese Abbildung in den Rechner hat drei Schritte: Man braucht zunächst ein mathematisches Modell des Systems, d. h. mathematische Gleichungen oder Relationen, die das System zuverlässig beschreiben; dann benötigt man Algorithmen, die diese Gleichungen zumindest näherungsweise lö-sen; und schließlich muß man die Algorithmen in einem Rechner implementieren.

Modelle-Algorithmen-Programme = MAP, eine Abbildung (englisch: map) von der realen in die virtuelle Welt. Und hier ist nun Mathematik überall: Die Modelle für die Systeme sind aus Mathematik gemacht. Mathematik ist der Rohstoff der Modelle – je besser der Rohstoff, desto besser i. allg. auch die Modelle. „Modellieren“ ist deshalb auch eine mathematische Tätigkeit – sie ist nicht nur Mathematik, man braucht auch Natur- und Ingenieurwissenschaften. Natürlich vernachlässigen Modelle als unwesentlich erachtete Details – sie entstehen durch Abstraktion. Dabei sollen sie so komplex wie nötig und so einfach wie möglich sein. Häufig sind Modelle für klassische, physikalische Prozesse zu komplex; 3-dimensionale Navier-Stokes-Gleichungen bei hohen Reynoldszahlen in 3 Dimensionen sind zwar oft richtig, aber ebenso oft auch komplizierter als notwendig und weder analytisch noch numerisch mit vertretbarem Aufwand lösbar. Asymptotische Analysis, die Entdeckung kleiner Parameter etwa durch Entdimensionalisierung, und anschließender Grenzübergang, bei dem dieser kleine Parameter gegen Null geht, schaffen oft einfachere, aber noch genügend genaue Modelle. Dieser Grenzübergang erfordert zuerst eine richtige Skalierung des Parameters; dies ist häufig eine Kunst, die insbesondere in der britischen Tradition der angewandten Mathematik gepflegt wird. Deshalb versteht man unter Modellierung in dieser Tradition auch gelegentlich die Vereinfachung durch Asymptotik; ein strenger Beweis der Konvergenz in geeigneten topologischen Räumen ist eine wichtige Aufgabe der reinen Mathematik, der sich die Technomathematik bewußt sein sollte, ohne sie zu einem Schwerpunkt der eigenen Arbeit zu machen. Auf keinen Fall darf die Technomathematik aber die Vereinfachung übertreiben: So komplex wie nötig ist der wichtigere Grundsatz.

In der Technomathematik modelliert man sehr viel mittels Differential- und Integralgleichungen, insbesondere mittels Differentialgleichungen der klassischen Physik; aber viele Modelle beziehen sich auch auf geeignete Abstände oder Nachbarschaftsbeziehungen – man modelliert also mit Funktionalanalysis oder Topologie.

Ein weiterer, großer Bereich sind stochastische Modelle, insbesondere stochastische Prozesse und stochastische Differentialgleichungen. Inhomogene technische Materialien müssen oft mit Hilfe der stochastischen Geometrie modelliert werden. Input-Output-Systeme, deren Verhalten sich nicht durch naturwissenschaftliche Gesetze beschreiben lassen, für die aber sehr umfangreiche Erfahrungen in Form von Input-Output-Daten vorliegen, werden durch Abbildungsklassen modelliert, die etwa aus der Kontrolltheorie oder allgemeiner der Systemtheorie stammen oder neuronale Netze verschiedener Art darstellen. Aber auch Differentialgeometrie, Funktionentheorie oder Algebra finden hin und wieder Anwendung, insbesondere in der Elektrotechnik. Der Technomathematiker benötigt also eine breite mathematische Basis, aber er wird diese selbst nur dann erweitern, wenn das Modellierungsproblem mit den bestehenden Konzepten nicht auskommt; letzteres ist allerdings nicht selten. Wie gesagt, Modellieren ist auch Mathematik, aber nicht nur. Man braucht auch Kenntnisse der zu modellierenden Wirklichkeit; dazu muß man nicht Naturwissenschaftler oder Ingenieur werden, aber man muß sich mit diesen Fachleuten verständigen, mit ihnen kooperieren können. Grundlagenkenntnisse in der Sprache dieser Wissenschaften, vor allem aber ein echtes Interesse für sie, ist wichtig. Oft sind die Anforderungen an das Modell nicht eindeutig definiert – man muß sich, anders als in der reinen Mathematik, auf vage Problemstellungen einlassen. Es gibt viele Modelle, manchmal sogar mehrere gleich gute; man kann nicht immer sagen, welches das richtigere ist. Modellieren ist also eine Komponente der Technomathematik; das Auswerten der Modelle die andere. Auswerten der Modelle meint Lösung der Gleichungen, Berechnung der Normen, Bestimmung von Verteilungen, Identifikation von Systemabbildungen. Natürlich ist das nicht immer exakt zu leisten – man braucht oft Näherungen, und um sie zu berechnen, braucht man meist den Computer.

Es ist offenkundig dieses ungeheur effiziente Werkzeug, das der Mathematik eine völlig neue Rolle und Bedeutung verliehen hat. Ihre Wichtigkeit nicht nur, aber insbesondere für die Technik ist dadurch enorm gestiegen – und natürlich beruht Technomathematik ebenfalls auf einer effizienten Anwendung dieses Werkzeugs. „Scientific Computing“ oder seine leider mehrdeutige Übersetzung „Wissenschaftliches Rechnen“ ist neben Modellierung also die zweite Komponente dieser Disziplin. Natürlich gibt es auch hin und wieder analytische Lösungen, aber technische Systeme haben oft eine komplexe, 3-dimensionale Geometrie, die selten Symmetrie-Ideen bei der Lösungsberechnung zulassen. Technik dient, anders als z. B. Physik, nicht nur dem Verständnis, sondern der Vorhersage des Verhaltens realer Systeme; da kann man Geometrie selten vereinfachen. Scientific Computing setzt gute Computerkenntnisse voraus – man muß ein guter Nutzer des Rechners sein, um Technomathematik betreiben zu können. Aber da ist vor allem auch noch die mathematische Komponente: Es müssen effiziente, stabile Algorithmen entwickelt werden, die zu einer gegebenen Rechnerarchitektur passen. Der Fortschritt in der Lösungsgeschwindigkeit für Näherungsprobleme stammt ja nicht nur von der Verbesserung der Hardware, in mindestens demselben Umfang rührt er von der Verbesserung der Algorithmen her. Insbesondere bei der Lö-sung von Differentialgleichungen und etwa bei der Bildauswertung sind ungeheure Fortschritte erzielt worden. Multiskalenanalyse ist in beiden Bereichen unter dem Schlagwort „Multigrid“ bzw. „Wavelet“ von großer Bedeutung. Oft ist man ja an hochfrequenten Anteilen eines Signals oder Bildes nicht sehr interessiert, man will nur langskaliges Verhalten verstehen; andererseits beeinflussen aber diese „uninteressanten“ Anteile die interessanten Phänomene, man muß sie bei der Berechnung also berücksichtigen. Wie dies geschickt, d. h. ohne Auflösung der hohen Frequenzen, gemacht wird, ist eine wichtige Problemstellung der Technomathematik; man denke nur an das Verhalten von Makromolekülen, deren Zitterbewegungen viel weniger interessieren als ihre stabilen Zustände, an das Rasseln von Getrieben oder an das Erkennen von Strukturen in sehr verrauschten Bildern. Stochastische Systeme spielt man oft nach, wobei man auch den Zufall im Rechner nachbilden muß – eine seltsame Aufgabe, da Zufall und Berechnung sich zu widersprechen scheinen; man muß sich genau überlegen, was man vom Zufall wirklich erwartet– Verfahren wie Monte-Carlo oder Quasi-Monte-Carlo spielen hier eine wichtige Rolle. Modellierer mit guten Kenntnissen in klassischer Physik (Thermodynamik, Kontinuumsmechanik etc.), in asymptotischer Analysis und in inversen Problemen, Mathematiker aus dem Bereich Scientific Computing, System- und Kontrolltheoretiker mit guter Beziehung zur Informatik wie etwa dem Data Mining, Signal- oder Bildverarbeiter und Statistiker bilden ein gutes Team für eine erfolgreiche Forschung in Technomathematik – und sie bilden auch ein gutes Team, um den Studiengang Technomathematik durchzuführen.

Technomathematik als Studium

Wie schon erwähnt, begann Technomathematik als Studiengang; zu Beginn des Jahres 2002 ist er an 20 deutschen Hochschulen eingeführt oder zumindest fest geplant. Auch europäische Studiengänge führen diesen Namen, der in jeder Sprache selbsterklärend ist. Voraussetzung der Technomathematik ist ein mathematischer Fachbereich, der ein passendes Team im oben angegebenen Sinne hat oder aufbaut, und der ein technisches Umfeld besitzt. Dieses Umfeld muß ja keine technische Universität sein, aber ganz ohne technische Fachbereiche geht es auch nicht; natürlich kann – und sollte – man sich die technischen Probleme auch in der Praxis, bei Firmen, holen, aber technische Vorlesungen muß man im Angebot haben. Grenzbereiche wie Biotechnologie oder Geowissenschaften sind durchaus möglich.

Voraussetzung ist natürlich auch, daß der Computer als Werkzeug gut erlernbar ist, eine ordentliche Informatik ist also wichtig. Das Studium der Technomathematik hat drei Bestandteile: Mathematik – Informatik – technisches Anwendungsfach. Es gibt eine Empfehlung der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (GAMM), daß diese Fächer im Verhältnis 60:20:20 stehen sollen; die überwiegende Mehrheit der Studiengänge folgt dieser Empfehlung. 40% Nebenfächer reduziert den Mathematikanteil und bedeutet, zumindest wenn man annimmt, daß 100% in allen Mathematikstudien dieselbe Quantität meint, auch etwas weniger Mathematik. In der Tat wird man im Hauptstudium einige Spezialgebiete der reinen Mathematik, die nicht mehr oder noch nicht Anwendungen finden, zugunsten interdisziplinärer Aktivitäten fallen lassen. Im Grundstudium sind die Unterschiede gering; dies ist Absicht, da man Studienwechsel in die und aus der Technomathematik ermöglichen will. Das ist manchem, an Anwendung interessierten Studenten zuviel Theorie, zu wenig Praxis; aber man muß das Handwerk „von der Pieke auf“ lernen – man muß die Basis einer streng mathematischen Arbeitsweise legen. Scharfe Analysen und saubere logische Schlußfolgerungen werden im Beruf von jedem Mathematiker erwartet. Die entsprechenden Fähigkeiten sichern heute schon fast eine Stelle, aber für Positionen, in denen Mathematik gemacht wird, muß man wirklich nützliche Expertisen erwerben, und die liegen für technische Berufe eben in den Bereichen „Modellierung“ und „wissenschaftliches Rechnen“.

Deshalb betont das Hauptstudium in Technomathematik diese Gebiete. Wie man modellieren lehrt, ist eine schwierige und umstrittene Frage. Der Student soll ja lernen, eine praktische Problemstellung in Mathematik zu verwandeln; wichtig ist dabei dieser Prozeß, und nicht so sehr die Details des praktischen Problems oder der zum Modellieren genutzten Mathematik. Modellierungsvorlesungen sind daher oft von geringem Wert, wenn sie nicht sehr geschickt den Prozeß gegenüber dem Inhalt betonen. Auch sollte das Lehrmaterial, das zu modellierende Problem, nicht konstruiert oder Textbüchern entnommen sein. Schließlich muß die Offenheit des Modells gewahrt bleiben, der Lernende also eigene Wege beschreiben können. Deshalb scheinen Modellierungsseminare, in denen Gruppen von etwa vier Studenten zu Beginn Probleme der Praxis (am besten von den Praktikern selbst) vorgestellt werden, die sie dann unter sehr „sanfter“ Betreuung modellieren und auswerten, am besten geeignet. Die Betreuer schlüpfen dabei während der Arbeit in die Rolle des Praktikers und geben auf Fragen sachliche Informationen, und sie geben, wenn die Gruppe stecken bleibt, Hinweise auf möglicherweise geeignete mathematische oder technisch-naturwissenschaftliche Literatur. Wichtig bei solchen Modellierungsseminaren ist die schriftliche und mündliche Lösungspräsentation zur Information des Problemstellers; die im Beruf dringend benötigten „soft skills“ der interdisziplinären Kommunikation werden so geübt.

Modellieren scheint ein Gebiet, wo virtuelles Lernen wirklich sinnvoll sein kann; wenn das interaktive System so gestaltet wird, daß es gegenüber verschiedenen Lösungsansätzen offen ist, wäre es jedem vorgefertigtem Text wirklich überlegen. Allerdings dürfte die Erstellung eines solchen offenen Systems sehr aufwendig sein, wobei aber der Mangel an interessanten und neuen realen Problemen an einigen Hochschulen eine große Nachfrage bedeuten würde, und deshalb selbst einen großen Aufwand lohnend erscheinen lassen.

Scientific computing, das algorithmische Lösen mathematischer Probleme, ist eher traditionell lehrbar, wobei allerdings die strikte Einbindung des Werkzeugs Computer etwa in Computerlaboratorien unabdingbar ist. Thematisch wird es sich wohl um numerische Methoden zur Lösung von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen (natürlich auch Algebro- und Integraldifferentialgleichungen), um numerische Lineare Algebra und Approximationsmethoden, um Optimierungsverfahren und Computeralgebra handeln.

Modellierungsseminare sowie Vorlesungen und Laboratorien zu einer algorithmischen Numerik werden also im Mittel des Hauptstudiums der Technomathematik stehen; Vorlesungen und Seminare zu Gebieten, die häufig Anwendungen in der Technik finden, werden sie ergänzen. Dazu gehören z. B. Inverse Probleme, Homogenisierung, Parameterund Strukturoptimierung, Mathematische Methoden der Bildverarbeitung, Systemtheorie, Zeitreihenanalyse und stochastische Prozesse, mathematische Methoden in Kontinuumsmechanik, in Thermodynamik, in Elektromagnetismus, usw. Solange der lebendige Kontakt mit der Praxis besteht, werden sich immer neue Theorien als wichtig für die Lösung realer Probleme erweisen und in das Curriculum Eingang finden; dies gilt von Algebra bis Topologie, von Differentialgeometrie bis zur Zahlentheorie. Technomathematik wird diese Gebiete aber in Reaktion auf die Lösungsnotwendigkeiten, d. h. in ihrer Bedeutung für die Praxis, und weniger auf Vorrat bereitstellen. Industriepraktika im Technomathematikstudium sind nur sinnvoll, wenn sie auf die Lernbedürfnisse der Studierenden abgestimmt sind, wenn diese also etwa Programmiererfahrungen hinzugewinnen. Diplomarbeiten werden vorzugsweise an ein Problem der Praxis anknüpfen, ideal sind Themen, die sorgfältig zwischen Industrie und Hochschulbetreuer abgestimmt sind.

Das Technomathematikstudium bildet also Wissenschaftler aus, die auf der Basis von moderner Mathematik die Brücke zwischen den IT-Berufen und den naturwissenschaftlichen Berufen schlagen; es ist ein entscheidender Bestandteil der heute so sehr gefragten MINT-Aktivitäten (M=Mathematik, I=Informatik, N=Naturwissenschaft, T= Technik). MINT-Professionals sind auch und vor allem (Techno-)Mathematiker; deshalb setzt sich auch immer mehr die Erkenntnis durch, daß Mathematik genau wie die Informatik und gemeinsam mit INT eine entscheidende Rolle in der Gestaltung unserer Zukunft spielen wird. Es muß eine Modellierung und Computing einbeziehende Mathematik sein, die heute nicht nur, aber doch überwiegend unter dem Namen Technomathematik angeboten wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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