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Lexikon der Mathematik: Teichmüller-Theorie

liefert eine Parametrisierung aller komplexen Strukturen auf einer gegebenen Fläche, wichtig für viele Gebiete der Mathematik, insbesondere der komplexen Analysis, Algebraischen Geometrie, Lie-Gruppen, Automorphen Formen, Differentialgleichungen.

Eine Riemannsche Fläche ist eine zusammenhängende eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Zwei Riemannsche Flächen R1 und R2 heißen biholomorph äquivalent, wenn es eine biholomorphe Abbildung von R1 auf R2 gibt, man sagt in diesem Fall, daß R1 und R2 dieselbe komplexe Struktur besitzen. Man kann eine Riemannsche Fläche ebenso als eine reelle zweidimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit betrachten. Selbst, wenn es einen orientierungserhaltenden Diffeomorphismus zwischen zwei Riemannschen Flächen gibt, sind sie nicht notwendig biholomorph äquivalent. In natürlicher Weise ergibt sich die Frage, mit wie vielen verschiedenen komplexen Strukturen eine gegebene orientierte zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit versehen werden kann. Dies bezeichnet man als das Riemannsche Modul-Problem.

Zunächst behandelt man dieses Problem für geschlossene Riemannsche Fächen. Sei Mg ein Riemannscher Modulraum vom Geschlecht g, d. h. die Menge aller biholomorphen Äquivalenzklassen von geschlossenen Riemannschen Flächen vom Geschlecht g. Da jede geschlossene Riemannsche Fläche vom Geschlecht 0 biholomorph äquivalent zu der Riemannschen Sphäre ist, besteht M0 aus einem Punkt. Die Theorie der elliptischen Funktionen und elliptischen Kurven zeigt, daß M1 mit der komplexen Ebene identifiziert werden kann. 1857 stellte Riemann die Behauptung auf, daß Mg, g ≥ 2, durch 3g − 3 komplexe Parameter parametrisiert wird. Er stellte geschlossene Riemannsche Flächen vom Geschlecht g als endliche verzweigte Überlagerungen der Riemannschen Sphäre dar und bestimmte die Anzahl der Parameter von Mg durch die Anzahl der Freiheitsgrade der Verzweigungspunkte.

Sei R eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht g und Σ eine Markierung auf R, d. h., ein kanonisches System von Erzeugern einer Fundamentalgruppe von R. Zwei Paare (R, Σ) und R′, Σ′) heißen äquivalent, wenn eine biholomorhe Abbildung f : RR′ so existiert, daß f(Σ) äquivalent zu Σ′ ist. [R, Σ] bezeichne die Äquivalenzklassen von (R, Σ). Eine solche Äquivalenzklasse [R, Σ] heißt markierte geschlossene Riemannsche Fläche vom Geschlecht g. Der Teichmüller-Raum \({\mathcal{T}}\)g vom Geschlecht g besteht aus allen markierten geschlossenen Riemannschen Flächen vom Geschlecht g. \({\mathcal{T}}\)g besitzt eine kanonische Struktur einer komplexen Mannigfaltigkeit und ist eine verzweigte Überlagerung von Mg. Die zugehörige Gruppe der Decktransformationen heißt die Teichmüllermodulare Gruppe Modg. Es zeigt sich, daß man Mg mit dem Raum \({\mathcal{T}}\)g / modg identifizieren kann, der die Struktur eines normalen komplexen Raumes besitzt.

Der Teichmüller-Raum erschien bereits implizit in Stetigkeitsargumenten von Felix Klein und Henri Poincaré, die ab 1880 Fuchssche Gruppen und Automorphe Formen studierten. Robert Fricke, Werner Fenchel und Jakob Nielsen konstruierten \({\mathcal{T}}\)g, g ≥ 2, als eine reelle (6g − 6)-dimensionale Mannigfaltigkeit. Fricke vermutete außerdem, daß \({\mathcal{T}}\)g topologisch eine Zelle ist. Ihre Methode basierte auf dem Uniformisierungstheorem von Riemannschen Flächen, zurückführbar auf Klein, Poincaré und Paul Koebe: Jede geschlossene Riemannsche Fläche vom Geschlecht g (≥ 2) wird mit dem Quotientenraum H/Γ der oberen Halbebene H nach einer Fuchsschen Gruppe Γ identifiziert, die isomorph zu einer Fundamentalgruppe von R ist. Dann entspricht jeder Punkt [R, Σ] in \({\mathcal{T}}\)g einem kanonischen System von Erzeugern von Γ. Also wird [R, Σ] durch einen Punkt im ℝ6g−6 dargestellt, diese Koordinaten bezeichnet man als die Fricke-Koordinaten von [R, Σ]. Die Poincaré-Metrik auf H induziert die hyperbolische Metrik auf R, und die konforme Struktur, die durch diese hyperbolische Metrik definiert ist, entspricht der komplexen Struktur von R.

Einer der großen Beiträge von Oswald Teichmüller zum Modul-Problem war, daß er bei seiner Untersuchung nicht nur konforme, sondern auch quasikonforme Abbildungen betrachtete. Um 1940 stellte Teichmüller die Behauptung auf, daß \({\mathcal{T}}\)g homöomorph zu ℝ6g−6 ist. Er definierte den Teichmüller-Abstand auf \({\mathcal{T}}\)g(Teichmüller-Raum).

Ende der 1950er Jahre entwickelten Lars V. Ahlfors und Lipman Bers die Grundlagen für die Theorie der Teichmüller-Räume und bewiesen viele der Aussagen von Teichmüller.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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