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Lexikon der Mathematik: Teilersummenfunktion

die zahlentheoretische Funktion σ : ℕ → ℕ, die jeder natürlichen Zahl n die Summe ihrer echten und unechten Teiler zuordnet: \begin{eqnarray}\sigma (n):=\displaystyle \sum _{t|n}t.\end{eqnarray}

Die Teilersummenfunktion enthält die Information, welche natürlichen Zahlen abundante Zahlen, defiziente Zahlen, und welche vollkommene Zahlen sind:

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Teilersummenfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Vergleicht man die Werte σ(n) für verschiedene Argumente n, so erhält man darüber hinaus auch Informationen über befreundete Zahlen. Daher findet sich in Eulers Arbeit „De numeribus amicabilibus“ eine umfangreiche Tabelle der Teilersummenfunktion.

Da σ eine multiplikative Funktion ist, können die Werte σ(n) aus der Primfaktorenzerlegung von n und den leicht zu ermittelnden Werten \begin{eqnarray}\sigma ({p}^{\nu})=\frac{{p}^{\nu +1}-1}{p-1}\end{eqnarray}

für Primzahlpotenzen pν(p Primzahl, ν natürliche Zahl) errechnet werden.

Eine Alternative ist der folgende Satz, der es erlaubt, die Werte der Teilersummenfunktion rekursiv zu berechnen:

Bezeichnet für n ∈ ℕ \begin{eqnarray}\alpha (n)=\left\{\begin{array}{ll}1 & falls\,n=0,\\ {(-1)}^{r} & falls\,n={\frac{1}{2}}r(3r\pm 1)\,mit\,r\in {\mathbb{N}},\\ 0 & sonst,\end{array}\right.\end{eqnarray}

dann gilt für die Teilersummenfunktion σ die Formel \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\alpha (k)\sigma (n-k)=-\alpha (n)\cdot n.\end{eqnarray}

Eine Verallgemeinerung der Teilersummenfunktion ist die Teilerfunktion \begin{eqnarray}{\sigma}_{k}(n):=\displaystyle \sum _{t|n}{t}^{k},\end{eqnarray}

die für beliebige reelle Zahlen k erklärt ist.

Als Spezialfall erhält man für k = 1 die Teilersummenfunktion σ(n) = σ1(n) und die Teileranzahlfunktion d(n) = σ0(n).

Der Verlauf der Teilerfunktion ist ziemlich unregelmäßig, aber man kann ihre durchschnittliche Größenordnung recht gut beschreiben:

Für die summatorische Funktion von σk gilt: \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n\le x}{\sigma}_{k}(n)=\frac{\zeta (k+1)}{k+1}+\left\{\begin{array}{ll}O({x}^{k}) & f\ddot{u}r\ k\gt 1,\\ O(x\,\mathrm{log}\,x) & f\ddot{u}r\ k=1,\\ O(x) & f\ddot{u}r\ 0\lt k\lt 1,\end{array}\right.\end{eqnarray}

wobei ζ die Riemannsche ζ-Funktion bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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