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Lexikon der Mathematik: Teilfolge

eine aus einer gegebenen Folge durch ‚Herauspicken‘ gewisser Folgenglieder (unter Beibehaltung ihrer Reihenfolge) entstehende Folge.

Die genaue Definition lautet: Ist M eine nichtleere Menge, und sind a = (am) : ℕ → M und b = (bn) : ℕ → M Folgen, so nennt man b genau dann eine Teilfolge von a, wenn es eine streng isotone Abbildung ω : ℕ → ℕ derart gibt, daß b = aω gilt, also bn = aω(n) für alle n ∈ ℕ.

Konvergenz, Cauchy-Konvergenz und Monotonieeigenschaften ℝ-wertiger Folgen (bzw. von Folgen mit anderem geeigneten Zielbereich) übertragen sich trivialerweise von einer Folge auf ihre Teilfolgen. Interessanter sind Schlüsse von Eigenschaften von Teilfolgen auf Eigenschaften der Ausgangsfolgen. So ist etwa jede Cauchy-Folge in einem metrischen Raum, die eine konvergente Teilfolge besitzt, selbst konvergent (mit gleichem Grenzwert).

Jede ℝ-wertige Folge besitzt eine monotone Teilfolge, und nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt jede beschränkte Zahlenfolge eine konvergente Teilfolge und damit einen Häufungswert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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