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Lexikon der Mathematik: Tensoralgebra über einem Vektorraum V

kanonische Algebrenstruktur auf dem Raum aller Tensorpotenzen des Vektorraums V.

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper 𝕂, und es bezeichne \begin{eqnarray}{T}^{n}(V):=\mathop{\bigotimes}\limits^{n}V=\mathop{\underbrace{V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}}\limits_{n}\end{eqnarray}

die n-fache Tensorpotenz von V, wobei T0(V) := 𝕂 gesetzt sei. Die Tensoralgebra ist der Vektorraum T(V) = ⊕Ln≥0Tn(V) mit Algebrenmultiplikation definiert durch \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{T}^{n}(V)\times {T}^{m}(V)\to {T}^{n+m}(V),\\ ({x}_{1}\otimes \cdots \otimes {x}_{n})\cdot ({x}_{n+1}\otimes \cdots \otimes {x}_{n+m}):=\\ {x}_{1}\otimes \cdots \otimes {x}_{n}\otimes {x}_{n+1}\otimes \cdots \otimes {x}_{n+m},\end{array}\end{eqnarray}

bzw. \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{T}^{0}(V)\times {T}^{n}(V)\to {T}^{n}(V),\\ \alpha \cdot ({x}_{1}\otimes \cdots \otimes {x}_{n}):=\alpha ({x}_{1}\otimes \cdots \otimes {x}_{n}).\end{array}\end{eqnarray}

Die Tensoralgebra ist eine assoziative Algebra mit Einselement 1 ∈ T0(V). Sie ist durch die Ordnung der Tensorpotenzen über ℤ graduiert. Eine entsprechende Konstruktion existiert auch für Module über Ringen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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