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Lexikon der Mathematik: Tensorprodukt von linearen Räumen

der zu gegebenen 𝕂- Vektorräumen V1,…,Vn bis auf Isomorphie stets eindeutig existierende 𝕂-Vektorraum \begin{eqnarray}{V}_{1}\otimes \cdots \otimes {V}_{n},\end{eqnarray}

zu dem eine universelle Abbildung \begin{eqnarray}f:{V}_{1}\times \cdots \times {V}_{n}\to {V}_{1}\otimes \cdots \otimes {V}_{n}\end{eqnarray}

mit folgenden beiden Eigenschaften existiert:

  • f ist multilinear;
  • für alle 𝕂-Vektorräume W und alle multilinearen Abbildungen g : V1 × · · · × VnW gibt es genau eine lineare Abbildung \begin{eqnarray}h:{V}_{1}\otimes \cdots \otimes {V}_{n}\to W\end{eqnarray} so, daß gilt: \begin{eqnarray}g=h\circ f.\end{eqnarray}

V1 ⊗ · · · ⊗ Vn heißt das Tensorprodukt von V1,…,Vn, seine Elemente heißen Tensoren der Stufe n. Als Schreibweise für das Bild von \begin{eqnarray}({\upsilon}_{1},\ldots, {\upsilon}_{n})\in {V}_{1}\times \cdots \times {V}_{n}\end{eqnarray}

unter der (stets eindeutigen) universellen Abbildung f hat sich \begin{eqnarray}{\upsilon}_{1}\otimes \cdots \otimes {\upsilon}_{n}\end{eqnarray}

eingebürgert. Diese Elemente werden als Elementartensoren bezeichnet, und jeder Tensor ist eine Summe von Elementartensoren. Elemente aus dem Tensorprodukt \begin{eqnarray}\mathop{\underbrace{V\otimes \cdots \otimes V}}\limits_{p-\text{mal}}\otimes \mathop{\underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}}\limits_{q-\text{mal}}\end{eqnarray}

(V Dualraum zum Vektorraum V) heißen p-fach kontravariante und q-fach kovariante Tensoren; im Falle p = 0 spricht man von (rein) kovarianten Tensoren, im Falle q = 0 von (rein) kontravarianten Tensoren, im Falle p, q ≠ 0 von gemischten Tensoren. Beispielsweise sind Vektoren aus V kontravariante Tensoren der Stufe 1 und Linearformen auf V sind kovariante Tensoren der Stufe 1. Die Bilinearformen auf V × V können als kovariante Tensoren der Stufe 2 aufgefaßt werden. Sind die Vektorräume Vi(1 ≤ in) alle endlichdimensional, so ist die Dimension des zugehörigen Tensorproduktes das Produkt der Dimensionen der Vi : \begin{eqnarray}\dim ({V}_{1}\otimes \cdots \otimes {V}_{n})=\dim {V}_{1}\cdot \cdots \cdot \dim {V}_{n}.\end{eqnarray}

In diesem Fall ist V1 ⊗ · · · ⊗ Vn also isomorph zu \({{\mathbb{K}}}^{\dim ({V}_{1}\otimes \cdots \otimes {V}_{n})}\).

Für zwei beliebige 𝕂-Vektorräume V1 und V2 ist ihr Tensorprodukt V1V2 gegeben durch den Quotientenvektorraum V/U, wobei V den 𝕂-Vektorraum \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\mathop{\bigoplus}\limits_{({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2})\in {V}_{1}\times {V}_{2}}{\mathbb{K}}=\\ \{{({\alpha}_{i})}_{i\in {V}_{1}\times {V}_{2}}|{\alpha}_{i}\in {\mathbb{K}};\,{\alpha}_{i}=0\, \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text {fast alle}\ i\in {V}_{1}\times {V}_{2}\}\end{array}\end{eqnarray}

bezeichnet, und UV den Unterraum, der aufgespannt wird von den Elementen der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{l}[({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2})+({{\upsilon}^{\prime}_{1}},{\upsilon}_{2})]-[({\upsilon}_{1}+{{\upsilon}^{\prime}_{1}},{\upsilon}_{2})];\\ [({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2})+({\upsilon}_{1},{{\upsilon}^{\prime}_{2}})]-[({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2}+{{\upsilon}^{\prime}_{2}})];\\ [(\alpha {\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2})]-\alpha [({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2})];\\ [({\upsilon}_{1},\alpha {\upsilon}_{2})]-\alpha [({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2})];\end{array}\end{eqnarray}

([(u, w)] bezeichnet dasjenige Element aus V mit einer Eins an der Stelle (u, w) und Nullen sonst). Die zugehörige universelle Abbildung ist dann gegeben durch \begin{eqnarray}({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{1})\mapsto [{\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2}]+U.\end{eqnarray}

Durch eine analoge Konstruktion gelangt man auch zum Tensorprodukt von mehr als zwei Vektorräumen Vi. Für zwei endlichdimensionale 𝕂-Vektorräume V1 und V2 gilt bis auf Isomorphie \begin{eqnarray}{V}_{1}^{*}\otimes {V}_{2}^{*}={({V}_{1}\otimes {V}_{2})}^{*},\end{eqnarray}

und für beliebige 𝕂-Vektorräume V1, V2 und V3 gilt bis auf Isomorphie \begin{eqnarray}{V}_{1}\otimes ({V}_{1}\otimes {V}_{3})=({V}_{1}\otimes {V}_{2})\otimes {V}_{3}(={V}_{1}\otimes {V}_{2}\otimes {V}_{3});\end{eqnarray}

eine analoge Aussage gilt auch für endlich viele 𝕂-Vektorräume V1,…,Vn. Es ist V1 ⊗ · · · ⊗ Vn = {0}, wenn für mindestens ein i ∈ {1,…,n} gilt: Vi = {0}. Ist (vi1,…,viπ(i)) eine Basis von Vi(i ∈ {1,…,n}), so bilden die Elemente \begin{eqnarray}{\upsilon}_{1\phi (1)}\otimes \cdots \otimes {\upsilon}_{n\phi (n)}\end{eqnarray}

mit 1 ≤ ϕ(j) ≤ π(j) (1 ≤ jn) eine Basis von V1 ⊗· · ·⊗Vn. Stets wird das Tensorprodukt vom Bild der zugehörigen universellen Abbildung erzeugt.

Durch das Tensorprodukt wird die Betrachtung multilinearer Abbildungen auf lineare Abbildungen zurückgeführt, da die multilinearen Abbildungen auf V1 × · · · × Vn umkehrbar eindeutig den linearen Abbildungen auf dem Tensorprodukt V1 ⊗ · · · ⊗ Vn entsprechen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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