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Lexikon der Mathematik: Term

aus Konstanten, Variablen, Operationsund Funktionssymbolen nach den üblichen Regeln des ‚Formelbaus‘ zusammengesetzte Zeichenreihe.

All diese Begriffe werden in der mathematischen Logik oder der Theorie formaler Sprachen präzise definiert. Vereinfacht dargestellt kann man einen Term T definieren als eine Zeichenreihe, für die folgendes gilt:

  • T ist eine Konstante, d. h. eine in einem Zahlsystem geschriebene oder durch eine zuvor vereinbarte Abkürzung (wie etwa π) bezeichnete konstante Zahl, oder
  • T ist eine Variable, d. h. ein Zeichen wie x oder eine Zeichenreihe wie y50 aus einer zuvor vereinbarten Menge von Zeichen bzw. Zeichenreihen für Variablen, oder
  • T ist von der Gestalt −(S)mit einem Term S, oder von der Gestalt (T1T2) mit Termen T1 und T2, wobei ∗ eines der Operationssymbole +, −, ·,/ bezeichnet, oder
  • T ist von der Gestalt f(S) mit einem Term S und einem Funktionssymbol f, d. h. einem Zeichen oder einer Zeichenreihe aus einer zuvor vereinbarten Menge von Zeichen bzw. Zeichenreihen, die für bekannte Funktionen stehen.

Die Mengen der für Konstanten, Variablen und Funktionssymbole zugelassenen Zeichenreihen sollten disjunkt sein. Gemäß der bekannten Regel ‚Punktrechnung vor Strichrechnung‘ kann man manche Klammern in einem Term auch weglassen.

Enthält ein Term T höchstens die Variablen x1,…,xn, so drückt man dies auch durch die Schreibweise T = T(x1,…,xn) aus. Nicht alle dieser Variablen müssen also in T vorkommen. Falls T genau die Variablen x1,…,xn enthält, sagt man auch, T sei ein Term in n Variablen oder in den Variablen x1,…,xn.

Zu einem Term T = T(x1,…,xn) gehört ein Definitionsbereich 𝔻(T), je nach Kontext eine Teilmenge von ℝn, ℂn oder auch einer anderen Grundmenge 𝔾. Es gilt:

  • Ist T eine Konstante oder Variable, so ist 𝔻(T) = 𝔾.
  • Ist T von der Gestalt −(S) mit einem Term S = S(x1,…,xn), so ist 𝔻(T) = 𝔻(S).
  • Ist T von der Gestalt (T1T2) mit Termen T1 = T1(x1,…,xn) und T2 = T2(x1,…,xn), und ist ∗ wie oben, so ist 𝔻(T) = 𝔻(T1) ∩ 𝔻′(T2) mit 𝔻′(T2) = 𝔻(T2) im Fall ∗ ∈ {+, −, ·} und 𝔻′(T2) ={x ∈ 𝔻(T2) | T2(x) ≠ 0} im Fall ∗ = /.
  • Ist T von der Gestalt f(S) mit einem Term S = S(x1,…,xn) und einem Funktionssymbol f, so ist 𝔻(T) ={x ∈ 𝔻(S) | S(x) ∈ Df}, wobei Df die Definitionsmenge der durch f notierten Funktion bezeichnet.

Hierbei wurde bereits die Bezeichnung T(x) für den Wert eines Terms T an einer Stelle x ∈ 𝔻(T) benutzt. Dieses Auswerten eines Terms T durch Einsetzen eines Elements a = (a1,…,an) ∈ 𝔻(T) ist wie folgt definiert:

  • Ist T eine Konstante c, so ist T(a) = c.
  • Ist T eine Variable xk, so ist T(a) = ak.
  • Ist T von der Gestalt −(S) mit einem Term S = S(x1,…,xn), so ist T(a) = −S(a).
  • Ist T von der Gestalt (T1T2) mit Termen T1 =T1(x1,…,xn) und T2 = T2(x1,…,xn) und ∗ wie oben, so ist T(a) = T1(a) ∗ T2(a).
  • Ist T von der Gestalt f(S) mit einem Term S = S(x1,…,xn) und einem Funktionssymbol f, so ist T(a) = f(S(a)), wobei f(s) für sDf wie üblich den Wert der durch f notierten Funktion an der Stelle s bezeichnet.

Zwei Terme T = T(x1,…,xn), S = S(x1,…,xn) heißen genau dann äquivalent, wenn 𝔻(T) = 𝔻(S) gilt, sowie T(a) = S(a) für alle a ∈ 𝔻(T). Hierdurch wird in der Tat eine Äquivalenzrelation definiert, die etwa beim Rechnen mit Gleichungen und beim Rechnen mit Ungleichungen von Bedeutung ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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