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Lexikon der Mathematik: terminales Ereignis

finales Ereignis, Begriff im Kontext Maßtheorie und Stochastik.

Ist 𝔄 eine σ-Algebra und (𝔄n)n∈ℕ eine Folge von σ-Algebren mit 𝔄n ⊆ A für jedes n ∈ ℕ, so werden die Elemente der σ-Algebra \begin{eqnarray}{{\mathfrak{A}}}^{\infty}:=\displaystyle \mathop{\bigcap}\limits_{n\ge 1}{{\mathfrak{A}}}_{n}^{\infty}\end{eqnarray}

als terminale oder finale Ereignisse, und 𝔄 als σ-Algebra der terminalen oder finalen Ereignisse der Folge (𝔄n)n∈ℕ bezeichnet. Die σ-Algebra \begin{eqnarray}{{\mathfrak{A}}}_{{\mathfrak{n}}}^{\infty}:=\sigma \left(\displaystyle \mathop{\bigcap}\limits_{m\ge n}{{\mathfrak{A}}}_{m}\right)\end{eqnarray}

ist dabei für jedes n ∈ ℕ als die von den Elementen 𝔄n, 𝔄n+1,… erzeugte σ-Algebra definiert.

Die Elemente von 𝔄 heißen terminal oder final, da sie für jedes n ∈ ℕ nicht von den σ-Algebren 𝔄1,…,𝔄n abhängen, sondern lediglich von den unendlich fernen Gliedern der Folge (𝔄)n∈ℕ bestimmt werden.

Bei den 𝔄n handelt es sich oft um die von den Gliedern einer Folge (Xn)n∈ℕ von auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierten Zufallsvariablen erzeugten σ-Algebren σ(Xn).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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