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Lexikon der Mathematik: theorema egregium

die Aussage, daß die Gaußsche Krümmung k einer regulären Fläche \( {\mathcal F} \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\) nur von den Koeffizienten E, F, G der ersten Gaußsche Fundamentalform und deren partiellen Ableitungen abhängt.

Dieser Satz hat zahlreiche Konsequenzen, nicht nur für die Geometrie von Flächen, sondern auch für praktische Fragen der Erdvermessung und der Erstellung von Landkarten. In knapper Formulierung lautet er:

Die Gaußsche Krümmung einer Fläche \( {\mathcal F} \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\)ist eine Größe der inneren Geometrie von \( {\mathcal F} \).

Diese Erkenntnis war für Gauß und seine Zeitgenossen zunächst überraschend und unerwartet, wodurch sich die Namensgebung „bedeutender Satz“ erklärt. Da die Gaußsche Krümmung über eine Parameterdarstellung Φ(u, v) von \( {\mathcal F} \) definiert wird, indem man mittels Φ die erste und zweite Gaußsche Fundamentalform I und II bildet, und dann k als Quotient k = det (II) / det (I) ihrer Determinanten berechnet, hängt k nämlich scheinbar nicht nur von I, sondern auch von II ab.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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