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Lexikon der Mathematik: Theta-Funktion

definiert durch die Reihe \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\vartheta}_{\tau}(z)=\vartheta (\tau,z):=\displaystyle \sum _{n=-\infty}^{\infty}{e}^{\pi i({n}^{2}\tau +2nz)}.\end{array}\end{eqnarray}

Diese Reihe nennt man auch Theta-Reihe. Sie ist in H × ℂ normal konvergent, wobei \begin{eqnarray}H=\{z\in {\mathbb{C}}:\mathrm{Im}\,z\gt 0\}\end{eqnarray} die obere Halbebene ist. Bei festem τH ist also ϑτ eine ganze Funktion. Ebenso ist ϑ(·, z) bei festem z ∈ ℂ eine holomorphe Funktion in H. Man beachte, daß ϑτ eine Fourier-Reihe ist. Man nennt ϑ auch Jacobische Theta-Funktion, da Jacobi (1829) Theta-Reihen systematisch studiert und sie mit Θ (statt ϑ) bezeichnet hat.

Setzt man \(\mathop{\vartheta}\limits^{\sim}(t,\ x):=\vartheta (it,\ x)\) für t > 0 und x ∈ ℝ, so ist \(\mathop{\vartheta}\limits^{\sim}\) eine Lösung der partiellen Differentialgleichung \begin{eqnarray}\frac{{\partial}^{2}\tilde{\vartheta}}{\partial {x}^{2}}=4\pi \frac{\partial \tilde{\vartheta}}{\partial t},\end{eqnarray} die in der Theorie der Wärmeleitung eine zentrale Rolle spielt, wobei t als Zeit interpretiert wird.

Offensichtlich ist \({\vartheta}_{\tau}\) eine periodische Funktion mit Periode 1. Weiter gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\vartheta}_{\tau}(z+\tau)={e}^{-\pi i(\tau +2z)}{\vartheta}_{\tau}(z).\end{array}\end{eqnarray}

Die Nullstellen von \({\vartheta}_{\tau}\) sind gegeben durch \begin{eqnarray}z={z}_{km}=\frac{1+\tau}{2}+k+m\tau,\ \ \ \ \ k,m\in {\mathbb{Z}}.\end{eqnarray}

Jede Nullstelle hat die Nullstellenordnung 1.

Eine wichtige Eigenschaft ist die Transformationsformel der Theta-Funktion \begin{eqnarray}\vartheta (-\frac{1}{\tau},z)={e}^{\pi i{z}^{2}\tau}\sqrt{-i\tau}\vartheta (\tau,\tau z),\end{eqnarray} wobei auf der rechten Seite der Hauptzweig der Wurzel zu nehmen ist.

Setzt man in (1) speziell z = 0, so entsteht der Theta-Nullwert \begin{eqnarray}\vartheta (\tau):=\vartheta (\tau,0)=\displaystyle \sum _{n=-\infty}^{\infty}{e}^{\pi i{n}^{2}\tau}.\end{eqnarray}

Diese Funktion ist holomorph in H und erfüllt die Transformationsformeln \begin{eqnarray}\vartheta (\tau +2)=\vartheta (\tau)\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\vartheta (-\frac{1}{\tau})=\sqrt{-i\tau}\vartheta (\tau).\end{eqnarray}

Allgemeiner versteht man unter einem Theta-Nullwert eine Theta-Reihe der Form \begin{eqnarray}{\vartheta}_{a,b}(\tau):=\displaystyle \sum _{n=-\infty}^{\infty}{e}^{\pi i{(n+a)}^{2}\tau +2bn},\end{eqnarray} wobei a, b ∈ ℝ. Es ist ϑa,b eine holomorphe Funktion in H. Ist \begin{eqnarray}a-\frac{1}{2}\in {\mathbb{Z}}\ \ \text{und}\ \ b-\frac{1}{2}\in {\mathbb{Z}},\end{eqnarray} so gilt ϑa,b(τ) = 0 für alle τH. In allen anderen Fällen besitzt ϑa,b keine Nullstelle in H.

Es gilt die Transformationsformel \begin{eqnarray}{\vartheta}_{a,b}(-\frac{1}{\tau})={e}^{2\pi iab}\sqrt{-i\tau}{\vartheta}_{b,-a}(\tau).\end{eqnarray}

Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen der Jacobischen Theta-Funktion und elliptischen Funktionen. Setzt man nämlich \begin{eqnarray}{E}_{\tau}(z):=\frac{{\vartheta}_{\tau}(z+\frac{1}{2})}{{\vartheta}_{\tau}(z)},\end{eqnarray} so ist Eτ eine nicht-konstante elliptische Funktion zum Gitter L = ℤ + 2τℤ. Weiter gilt \begin{eqnarray}{E}_{\tau}(z+\tau)=-{E}_{\tau}(z),\end{eqnarray} und daher ist \({E}_{\tau}^{2}\) eine elliptische Funktion zum Gitter L1 = ℤ + τℤ.

Allgemeiner ist eine Theta-Funktion zum Gitter L = ℤω1+ℤω2 eine nicht-konstante ganze Funktion Θ mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}{\rm{\Theta}}(z+\omega)={e}^{{a}_{\omega}z+{b}_{\omega}}{\rm{\Theta}}(z)\end{eqnarray} für alle z ∈ ℂ und ωL. Dabei sind aω, bω ∈ ℂ Konstanten, die zwar von ω, aber nicht von z abhängen. Die Jacobische Theta-Funktion ist eine Theta-Funktion in diesem Sinne (zum Gitter \begin{eqnarray}L={\mathbb{Z}}+{\mathbb{Z}}\tau,\end{eqnarray} denn aus der Periodizität und (2) folgt für k, m ∈ ℤ \begin{eqnarray}{\vartheta}_{\tau}(z+k+m\tau)={e}^{-2\pi iz-\pi im\tau}{\vartheta}_{\tau}(z)).\end{eqnarray}

Ein weiteres Beispiel ist die Weierstraßsche σ – Funktion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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