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Lexikon der Mathematik: Thielesche Gleichung

Differenzen- bzw. Differentialgleichung zur Darstellung der Reserven in der Versicherungsmathematik. Sie wird hauptsächlich in der Lebensversicherung verwendet, für den Reserveprozeß in der Schadenversicherung existieren ähnliche Gleichungen.

Es bezeichne DK(t) die gebildeten Reserven (Deckungskapital) zum Zeitpunkt t, P(t) die eingehende Versicherungsprämie, R(t) die Kosten, um das versicherte Risiko zu tragen, und E(t) den Kapitalertrag auf die Reserve. Dann lautet die Thielesche Differenzengleichung \begin{eqnarray}DK(t+1)=DK(t)+P(t)-R(t)+E(t).\end{eqnarray}

Die Risikokosten R(t) hängen – je nach Art der Versicherung – auf unterschiedliche Weise von der Reserve ab; z. B. gilt für eine Lebensversicherung, bei der im Todesfall ein Betrag T gezahlt wird, R(t) = qx · (TDK(t)), mit qx als Erwartungswert der Sterbewahrscheinlichkeit für einen Versicherten im Alter x. Man erhält eine stochastische Gleichung, wenn man etwa eine stochastische Verzinsung z(ω, t) des Deckungkapitals berücksichtigt also E(t) = z(ω, t) · DK(t). Die Thielesche Gleichung stellt eine Alternative zur klassischen Darstellung der Versicherungsmathematik über Barwerte bzw. Kommutationswerte dar.

Als kontinuierlicher Limes ergibt sich die Thielesche Differentialgleichung \begin{eqnarray}\partial DK(t+dt)=p(t)-r(t)+\tilde{z}(\omega,t)DK(t),\end{eqnarray} welche als Modellgleichung dient, für praktische Anwendungen aber kaum eine Rolle spielt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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