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Lexikon der Mathematik: thin plate spline

spezielle Klasse von radialen Basisfunktionen.

Es seien N und m natürliche Zahlen, und φ : [0, ∞) ↦ ℝ definiert durch \begin{eqnarray}\phi (r)=\left\{\begin{array}{ll}{r}^{m-\frac{n}{2}}\mathrm{log}(r) &,\ \ \text{falls}\ \text{n}\ \text{gerade},\\ {r}^{m-\frac{n}{2}} &,\ \ \text{falls}\ \text{n}\ \text{ungerade}.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Dann heißt für vorgegebene xi ∈ ℝn, i = 1, …, N, eine Funktion \begin{eqnarray}s(x)=\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\alpha}_{i}\phi ({\Vert x-{x}_{i}\Vert}_{2})+\displaystyle \sum _{j=1}^{d}{\beta}_{j}{p}_{j}(x),\ \ \ x\in {{\mathbb{R}}}^{n}\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\alpha}_{i}{p}_{j}({x}_{i})=0,\ \ \ j=1,\ldots,d,\end{eqnarray} thin plate spline. Hierbei ist {pj : j = 1, …, d} eine Basis des Raums der Polynome vom Grad m − 1 in n Variablen, und d die Dimension dieses polynomialen Raums.

Die Funktionen s, erzeugt durch φ, sind somit spezielle radiale Basisfunktionen. Sie treten im Zusammenhang mit der Interpolation verteilter Daten in mehreren Veränderlichen auf, das heißt, bei der Problemstellung s(xi) = yi für vorgegebene yi ∈ ℝ, i = 1, …, N.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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