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Lexikon der Mathematik: Thue-Siegel-Roth, Satz von

Approximationssatz von Roth, eine wesentliche Verschärfung des Approximationssatzes von Liouville, die wie folgt lautet:

Zu jeder irrationalen algebraischen Zahl α und zu jedem κ > 2 gibt es eine reelle Konstante c(α, κ) > 0 derart, daß für alle p, q ∈ ℤ gilt: \begin{eqnarray}\left|\alpha -\frac{p}{q}\right|\ge \frac{c(\alpha,\kappa)}{{q}^{\kappa}}.\end{eqnarray}

Diesem Satz liegt folgendes Problem zugrunde: Für eine ganze Zahl δ ≥ 2 definiere man zunächst K(δ) ∈ R als das Infimum derjenigen reellen Zahlen κ mit der Eigenschaft, daß für jede feste algebraische Zahl α vom Grad δ die Ungleichung \begin{eqnarray}\left|\alpha -\frac{p}{q}\right|\lt \frac{1}{{q}^{\kappa}}\end{eqnarray} nur endlich viele Lösungen (p, q) ∈ ℤ × ℕ besitzt. Aus dem Dirichletschen Approximationssatz und dem Approximationssatz von Liouville folgt die Ungleichungskette \begin{eqnarray}2\le K(\delta)\le \delta.\end{eqnarray}

Thue bewies 1909 die schärfere obere Abschätzung \begin{eqnarray}K(\delta)\le \frac{1}{2}\delta +1,\end{eqnarray}

Siegel gelang 1921 die weitere Verschärfung \begin{eqnarray}K(\delta)\le 2\sqrt{\delta}-1.\end{eqnarray}

Nach mehreren kleineren Verbesserungen bewies schließlich K.F. Roth 1955 seinen Approximationssatz, woraus die von Siegel vermutete Gleichung K(δ) = 2 folgt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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