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Lexikon der Mathematik: Tissotsche Indikatrix

eine Ellipse Ex in der Tangentialebene \({T}_{x}({\mathcal F})\) einer Fläche, die sich als Urbild Ex = (dxf)−1 (Sf(x)) des Einheitskreises \begin{eqnarray}{S}_{f(x)}=\{{\mathfrak{t}}\in {T}_{f(x)}({{\mathcal{F}}}^{*});\Vert {\mathfrak{t}}\Vert =1\}\subset {T}_{f(x)}({{\mathcal{F}}}^{*})\end{eqnarray} bei dem Differential \begin{eqnarray}{d}_{x}f:{T}_{x}({\mathcal{F}})\to {T}_{f(x)}({{\mathcal{F}}}^{*})\end{eqnarray} einer Abbildung \(f: {\mathcal F} \to {\mathcal F} * \) zweier Flächen \( {\mathcal F} \text{,}\ {\mathcal F} * \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\) ergibt.

Die Längenverzerrung hat Gemeinsamkeiten mit der Normalkrümmung. Es gilt für sie eine dem Satz von Euler analoge Darstellung:

Wählt man in der Tangentialebene \({T}_{x}({\mathcal{F}})\)zwei orthonormierte Einheitsvektoren \({{\mathfrak{e}}}_{1}\)und \({{\mathfrak{e}}}_{2}\)in Hauptverzerrungsrichtung, so ist die Längenverzerrung λ eines Vektors \begin{eqnarray}{{\mathfrak{e}}}_{\varphi}=\cos (\varphi){{\mathfrak{e}}}_{1}+\sin (\varphi){{\mathfrak{e}}}_{2},\end{eqnarray}der mit \({{\mathfrak{e}}}_{1}\)den Winkel ϕ einschließt, durch \begin{eqnarray}{\lambda}^{2}(\varphi)={\lambda}_{1}^{2}{\cos}^{2}(\varphi)+{\lambda}_{2}^{2}{\sin}^{2}(\varphi)\end{eqnarray}gegeben, wobei λ1und λ2die Hauptverzerrungen von f sind.

Dieses Resultat geht auf Nicolas Auguste Tissot (1824-1904) zurück. Führt man durch \({\mathfrak{t}}\ \text{=}\ x\ {{\mathfrak{e}}}_{1}\ +\ y\ {{\mathfrak{e}}}_{2}\) kartesische Koordinaten (x, y) für die Tangentialvektoren \({\mathfrak{t}}\ \in {T}_{x}({\mathcal F})\) ein, so hat die Tissotsche Indikatrix die Gleichung \begin{eqnarray}{\lambda}_{1}^{2}{x}^{2}+{\lambda}_{2}^{2}{y}^{2}=1,\end{eqnarray} d. h., sie hat die Halbachsen \({\lambda}_{1}^{-1}\) und \({\lambda}_{2}^{-1}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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