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Lexikon der Mathematik: Toda-System

Beispiel eines integrablen Hamiltonschen Systems im ℝ2n mit folgender Hamilton-Funktion: \begin{eqnarray}H(q,p)=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\frac{1}{2}{p}_{i}^{2}+\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{e}^{{q}_{i+1}-{q}_{i}}.\end{eqnarray}

Dieses System ist eines der wichtigsten integrablen Systeme und hat viele weitere mathematische Untersuchungen wie die Theorie der Poisson-Lie-Gruppen maßgeblich beeinflußt.

Es gibt auch allgemeinere Toda-Systeme, die den Dynkin-Diagrammen (Coxeter-Diagramm) halbeinfacher Lie-Algebren zugeordnet werden.

Todd-Klasse, Begriff von fundamentaler Bedeutung für das Riemann-Roch-Theorem und die Hirzebruch-Signatur-Formel.

Für ein komplexes Vektorbündel E vom Rang n kann man formal schreiben \begin{eqnarray}c(E)=\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(1+{x}_{i}),\end{eqnarray} wobei man sich die xi als erste Chern-Klassen der Geradenbündel vorstellen kann, in die E durch den pullback von σ : F (E) → E aufspaltet, \begin{eqnarray}{\sigma}^{-1}E={L}_{1}\oplus \cdots \oplus {L}_{n}.\end{eqnarray}F (E) bezeichne die Aufspaltungs-Mannigfaltigkeit von E, und die Li seien Geradenbündel über F (E). Da die Chern-Klassen c1(E), …, cn(E) die elementarsymmetrischen Funktionen von x1, …, xn sind, ist jedes symmetrische Polynom in x1, …, xn ein Polynom in c1(E), …, cn(E). Ein ähnliches Ergebnis gilt für Potenzreihen.

Sei E = L1 ⊕ … ⊕ Ln die direkte Summe von Geradenbündeln. Dann gilt für das äußere Produkt \begin{eqnarray}\mathop{\bigwedge}\limits^{p}E=\mathop{\bigoplus}\limits_{1\le {i}_{1}\lt \cdots \lt {i}_{p}\le n}({L}_{{i}_{1}}\otimes \cdots \otimes {L}_{{i}_{p}}).\end{eqnarray}

Für die Chern-Klasse gilt dann nach der Whitney-Produkt-Formel \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}c(\mathop{\bigwedge}\limits^{p}E) & = & \displaystyle \prod (1+{c}_{1}({L}_{{i}_{1}}\otimes \cdots \otimes {L}_{{i}_{p}}))\\ & = & \displaystyle \prod (1+{x}_{{i}_{1}}+\cdots +{x}_{{i}_{p}});\ {x}_{i}={c}_{1}({L}_{i}),\end{array}\end{eqnarray} wobei das Produkt über alle Multiindizes 1 ≤ i1 < … < ipn genommen wird. Da die rechte Seite symmetrisch in x1, …, xn ist, kann sie als ein Polynom in c1(E), …, cn(E) dargestellt werden. Die Potenzreihe \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\frac{{x}_{i}}{1-{e}^{-{x}_{i}}}=Td\ ({c}_{1}(E),\ldots,{c}_{n}(E))=Td\ (E)\end{eqnarray} ist symmetrisch in x1, …, xn und daher eine Potenzreihe Td in c1(E), …, cn(E). Diese Potenzreihe Td (E) heißt die Todd-Klasse von E. Nach dem Aufspaltungsprinzip erfüllt sie automatisch die Produktformel \begin{eqnarray}Td\ (E\oplus F)=Td\ (E)\ Td\ (F).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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