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Lexikon der Mathematik: Tonelli, Satz von

Aussage über die Endlichkeit des Inhalts einer stetigen Funktion.

Es seien D0 = [a, b] × [c, d] ⊆ ℝ2 und f : D0 → ℝ stetig. Dann gelten:

  1. Die stetige Oberfläche z = f(x, y) hat genau dann einen endlichen Inhalt S(f, D0), wenn f eine endliche (Tonelli-)Variation auf D0hat.
  2. Unter der Voraussetzung von (a) gilt mit \begin{eqnarray}L(f,{D}_{0})=\displaystyle \int \displaystyle \mathop{\int}\limits_{{D}_{0}}\sqrt{1+{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^{2}+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^{2}}dx\ dy\end{eqnarray}die Ungleichung \begin{eqnarray}S(f,{D}_{0})\ge L(f,{D}_{0}),\end{eqnarray}wobei S(D) = S(f, D) für D = [α, β] × [γ, δ] ⊆ D0eine stetige additive Funktion von Rechtecken DD0ist und für fast alle (x, y) ∈ D0die Gleichung \begin{eqnarray}{S}^{\prime}(x,y)=\sqrt{1+{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^{2}+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^{2}}\end{eqnarray}gilt.
  3. Genau dann gilt S(f, D0) = L(f, D0), wenn f absolut stetig auf D0ist. Das ist genau dann der Fall, wenn S(f, D) eine absolut stetige Funktion auf den Rechtecken DD0ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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