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Lexikon der Mathematik: topologisch mischend

Bezeichnung für ein topologisches dynamisches System (M, G, Φ) mit G = ℝ oder G = ℤ, wenn für alle nichtleeren Teilmengen A, BM ein TG, T > 0 so existiert, daß für alle t > T gilt: Φ(A, t) ∩ B = ∅.

Jedes topologisch mischende System ist topologisch transitiv. Der folgende Satz gibt ein notwendiges Kriterium für die topologische Mischungseigenschaft:

Sei ein topologisches dynamisches System (M, G, Φ) mit G = ℝ oder G = ℤ gegeben. Wenn eine Metrik (metrischer Raum) existiert, die die Topologie auf M erzeugt (Metrisierbarkeit eines Raumes), und für alle tG die Abbildung Φ(·, t) : MM die Metrik erhält, so ist (M, G, Φ) nicht topologisch mischend.

Daraus erkennt man am Beispiel der Translation auf dem Torus, daß aus topologischer Transitivität nicht die topologische Mischungseigenschaft folgt.

[1] Katok, A.; Hasselblatt, B.: Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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