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Lexikon der Mathematik: topologische Markow-Kette

eines der wichtigsten symbolischen dynamischen Systeme (symbolische Dynamik).

Für n ∈ ℕ sei An ≔ {1, …, n}, das sog. Alphabet. Wir betrachten die Menge Ω ≔ {ω : ℤ → An} der beidseitigen Folgen mit Werten im Alphabet An. Ω sei mit der Produkttopologie der abzählbar vielen Kopien von An ausgestattet, welche mit der diskreten Topologie versehen seien. Weiter sei eine (n × n)-Matrix \(A:={({a}_{i,j})}_{i,j=1}^{n}\) gegeben mit ai,j ∈ {0, 1} (i, jAn), und es sei \begin{eqnarray}{{\rm{\Omega}}}_{A}:=\{\omega \in {\rm{\Omega}}|{a}_{{\omega}_{i},{\omega}_{i+1}}=1\ (i\in {\mathbb{Z}})\}.\end{eqnarray}

Wir betrachten den auf ΩA eingeschränkten Bernoulli-Shift σA : ΩA → ΩA, definiert durch (σω)iωi+1 (i ∈ ℤ). Mit der durch σ erzeugten iterierten Abbildung Φ : ΩA × ℤ → ΩA, definiert durch Φ(ω, t) ≔ σt(ω) für alle t ∈ ℤ und alle ω ∈ ΩA, heißt das diskrete topologische dynamische SystemA, ℤ, Φ) topologische Markow-Kette.

An wird als Menge der möglichen Zustände eines Systems interpretiert, die Matrix A wird als Übergangsmatrix bezeichnet. Man beachte, daß per Konstruktion ΩA eine abgeschlossene, unter dem Bernoulli-Shift σ invariante Menge des gesamten Folgenraumes Ω ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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