mit einer Topologie \({\mathcal{O}}\) versehene Menge X.

Eine Topologie ist ein System \({\mathcal{O}}\) von Teilmengen O ⊆ X, welche folgenden Axiomen genügen: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}(\text{O}1)\varnothing \in {\mathcal{O}}\ \text{und}\ X\in {\mathcal{O}};\\ (\text{O}2){O}_{1},{O}_{2}\in {\mathcal{O}}\Rightarrow {O}_{1}\cap {O}_{2}\in {\mathcal{O}};\\ (\text{O}3){O}_{i}\in {\mathcal{O}}\ \text{fur}\ \text{alle}\ i\in I\Rightarrow {\cup}_{i\in I}{O}_{i}\in {\mathcal{O}}.\end{array}\end{eqnarray}

Die in \({\mathcal{O}}\) enthaltenen Mengen nennt man offene Mengen. Nach (O1) sind die leere Menge und der Gesamtraum offen, und (O2) und (O3) besagen, daß endliche Durchschnitte und beliebige Vereinungen offener Mengen wieder offen sind. Ein M ⊆ X nennt man abgeschlossen, wenn das Komplement X \ M offen ist. Die Familie \({\mathcal{A}}\) der abgeschlossenen Mengen von X genügt den folgenden Axiomen: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}(\text{A}1)\varnothing \in {\mathcal{A}}\ \text{und}\ X\in {\mathcal{A}};\\ (\text{A}2){A}_{1},{A}_{2}\in {\mathcal{A}}\Rightarrow {A}_{1}\cup {A}_{2}\in {\mathcal{A}};\\ (\text{A}3){A}_{i}\in {\mathcal{A}}\ \text{fur}\ \text{alle}\ i\in I\Rightarrow {\cap}_{i\in I}{A}_{i}\in {\mathcal{A}}.\end{array}\end{eqnarray}

Offenbar kann man die Topologie \({\mathcal{O}}\) eines Raumes auch durch Angabe der abgeschlossenen Mengen \({\mathcal{A}}\) definieren.

Sind \({\mathcal{O}}\) und \({\mathcal{O}}^\prime\) zwei Topologien aufX mit \({\mathcal{O}}^\prime \subseteq {\mathcal{O}}\), dann nennt man die Topologie \({\mathcal{O}}\) feiner als \({\mathcal{O}}^\prime\) (bzw. \({\mathcal{O}}^\prime\) gröber als \({\mathcal{O}}\)).

Eine wichtige Klasse topologischer Räume sind die metrischen Räume. Ist (X, d) ein metrischer Raum, so nennt man O ⊆ X offen, wenn es zu jedem x ∈ O ein r > 0 gibt, so daß die Kugel B_r(x) = {y ∈ X : d(x, y) < r} mit Radius r um x ganz in O liegt: B_r(x) ⊆ O. Man rechnet leicht nach, daß die Familie aller offenen Mengen eine Topologie auf (X, d) definiert; diese nennt man die von der Metrik induzierte Topologie auf (X, d). Sind d und d′ Metriken auf X, so nennt man diese äquivalent, wenn sie dieselbe Topologie induzieren.

Topologische Räume werden oft mit Zusatzstrukturen versehen: Beispiele sind topologische Gruppen, Körper, Vektorräume, etc.

Sind x, y ∈ (X, d) verschiedene Punkte eines metrischen Raums und r = d(x, y), so sind B_r/2(x) und B_r/2(y) disjunkte Umgebungen von x bzw. y: dies zeigt, daß metrische Räume Hausdorffsch sind.

Alle Normen auf ℝⁿ sind äquivalent und induzieren die natürliche Topologie. Die für x, y ∈ ℝⁿ von d(x, x) = 0 und d(x, y) = 1 für x ≠ y definierte Metrik induziert die diskrete Topologie auf ℝⁿ.