ein Vektorraum, der zusätzlich zu seiner Vektorraumstruktur noch eine Topologie besitzt, die sowohl die Addition als auch die Multiplikation mit einem Skalar stetig macht.

Es seien \({\mathbb{K}}={\mathbb{R}}\) oder \({\mathbb{K}}={\mathbb{C}}\) und V ein Vektorraum über dem Körper \({\mathbb{K}}\). Ist weiterhin τ eine Topologie auf V so, daß die Abbildungen \begin{eqnarray}+:(V,\tau)\times (V,\tau)\to (V,\tau)\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\cdot :{\mathbb{K}}\times (V,\tau)\to (V,\tau)\end{eqnarray} stetig sind, wobei \({\mathbb{K}}\) seine natürliche Topologie trägt, dann nennt man V zusammen mit seiner Topologie einen topologischen Vektorraum.

Jeder normierte Raum ist insbesondere auch ein topologischer Vektorraum.