abgeleiteter Funktor des Tensorprodukts.

Es seien R ein Noetherscher Ring, M und N endlich erzeugte R–Moduln, und \begin{eqnarray}{F}_{m}\mathop{\to}\limits^{{\alpha}_{m}}{F}_{m-1}\mathop{\to}\limits^{{\alpha}_{m-1}}\ldots \mathop{\to}\limits^{{\alpha}_{1}}{F}_{0}\mathop{\to}\limits^{{\alpha}_{0}}M\to 0\end{eqnarray} eine freie Auflösung von M, d. h., es ist \begin{eqnarray}\text{Kern}({\alpha}_{i})=\text{Bild}({\alpha}_{i+1})\end{eqnarray} für alle i mit freien Moduln F_i. Dann ist die induzierte Folge \begin{eqnarray}{F}_{m}\otimes N\mathop{\to}\limits^{{\alpha}_{m}\otimes {1}_{N}}{F}_{m-1}\otimes N\mathop{\to}\limits^{{\alpha}_{m-1}\otimes {1}_{N}}\\ \ldots \to {F}_{0}\mathop{\to}\limits^{{\alpha}_{0}\otimes {1}_{N}}M\otimes N\to 0\end{eqnarray} in der Regel nicht mehr exakt, d. h., \begin{eqnarray}\text{Kern}({\alpha}_{i}\otimes {1}_{N})\ne \text{Bild}({\alpha}_{i+1}\otimes {1}_{N}).\end{eqnarray}

Es gilt aber noch \begin{eqnarray}\text{Kern}({\alpha}_{i}\otimes {1}_{N})\supset \text{Bild}({\alpha}_{i+1}\otimes {1}_{N}),\end{eqnarray} d. h., die induzierte Folge ist ein Komplex. Die Homologie des Komplexes, d. h. die Menge der Faktormoduln Kern(α_i ⊗ 1_N)/Im(α_i+1 ⊗ 1_N) ist unabhängig von der Wahl der freien Auflösung von M. Diese Moduln werden \({\text{Tor}}_{i}^{R}(M,N)\) genannt.

Es gelten folgende Aussagen:

• \({\text{Tor}}_{0}^{R}(M,N)=M{\otimes}_{R}N\), das Tensorprodukt von M und N.
• Wenn M ein flacher Modul ist, dann ist \({\text{Tor}}_{i}^{R}(M,N)=0\) für alle i > 0 und alle N.
• \({\text{Tor}}_{i}^{R}(M,N)={\text{Tor}}_{i}^{R}(N,M)\).

Umgekehrt gilt auch: M ist flach, wenn \({\text{Tor}}_{1}^{R}(R/I,M)=0\) ist für alle Ideale I ⊂ R.

Ein Beispiel: Ist x ∈ R ein Nichtnullteiler, so gilt:

• \({\text{Tor}}_{0}^{R}(R/(x),M)=M/xM;\)
• \({\text{Tor}}_{1}^{R}(R/(x),M)=\{m\in M|xm=0\};\)
• \({\text{Tor}}_{i}^{R}(R/(x),M)=0\) für i ≥ 2.