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Lexikon der Mathematik: Torsionstheorie

eine Zusatzstruktur auf einer gegebenen abelschen Kategorie \({\mathcal{C}}\).

Sie wird gegeben durch ein Paar von Teilklassen \(({\mathcal{T}},{\mathcal{F}})\) der Objekte aus \({\mathcal{C}}\), derart daß gilt:

  1. Für je zwei Objekte \(T\in {\mathcal{T}}\) und \(F\in {\mathcal{F}}\) existiert außer dem Nullhomomorphismus kein weiterer Morphismus, d. h. es gilt \({\text{Mor}}_{{\mathcal{C}}}(T,F)=\{0\}\).
  2. Die Teilklassen \({\mathcal{T}}\) und \({\mathcal{F}}\) sind maximal mit dieser Eigenschaft. Das heißt, gilt \({\text{Mor}}_{{\mathcal{C}}}(A,F)=\{0\}\) für alle \(F\in {\mathcal{F}}\), dann ist \(A\in {\mathcal{T}}\), und gilt \({\text{Mor}}_{{\mathcal{C}}}(T,B)=\{0\}\) für alle \(T\in {\mathcal{T}}\), dann ist \(B\in {\mathcal{F}}\).

Beispiel 1: Sei \({\mathcal{A}}\) die Kategorie der abelschen Gruppen, und sei \({\mathcal{T}}\) die Menge der abelschen Torsionsgruppen, d. h., \(T\in {\mathcal{T}}\) genau dann, falls es für alle xT ein n ∈ ℕ gibt mit n · x = 0. Sei \({\mathcal{F}}\) die Menge der freien abelschen Gruppen, d. h., \(F\in {\mathcal{F}}\) genau dann, falls für yF und n ∈ ℕ aus n · y = 0 folgt: y = 0. Das Paar \(({\mathcal{T}},{\mathcal{F}})\) beschreibt eine Torsionstheorie auf der Kategorie der abelschen Gruppen.

Beispiel 2: Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Die Kategorie der R–Module ist abelsch. Bezeichnet \({\mathcal{T}}\) die Menge der Torsionsmodule und \({\mathcal{F}}\) die Menge der freien Module, so ist dadurch eine Torsionstheorie auf dieser Kategorie gegeben. Hierbei ist ein Modul ein freier Modul, falls T(M) = {0}. Beispiel 1 ergibt sich als Spezialfall der Module über den ganzen Zahlen ℤ.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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