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Lexikon der Mathematik: Torus

auch Ringtorus oder Kreisring genannt, Körper, der durch Rotation eines Kreises k um eine außerhalb dieses Kreises verlaufende Achse, die mit k in einer Ebene liegt, entsteht.

Das Zentrum des Kreises k beschreibt dabei ebenfalls einen Kreis (Rotationskreis), dessen Mittelpunkt das Zentrum des Torus’ ist. Die senkrecht auf der Achse stehende Ebene, in welcher der Rotationskreis liegt, heißt auch Äquatorialebene des Torus.

Hat der Kreis k den Radius r und sein Mittelpunkt den Abstand R zur Drehachse, so gilt für den Oberflächeninhalt des Torus \begin{eqnarray}O=4{\pi}^{2}rR\end{eqnarray} und für sein Volumen \begin{eqnarray}V=2{\pi}^{2}{r}^{2}R.\end{eqnarray}

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Torus
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Ein Torus, der durch Rotation des in der x-z-Ebene liegenden Kreises mit der Gleichung \begin{eqnarray}{(x-R)}^{2}+{z}^{2}={r}^{2}\end{eqnarray} (mit r < R) um die z–Achse entsteht, hat die Gleichung \begin{eqnarray}{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-{R}^{2}-{r}^{2})}^{2}=4{R}^{2}({r}^{2}-{z}^{2})\end{eqnarray} bzw. \begin{eqnarray}{\left(R-\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\right)}^{2}+{z}^{2}={r}^{2},\end{eqnarray} und die Parameterdarstellung \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}x & = & (R+r\ \cos v)\ \cos u\\ y & = & (R+r\ \cos v)\ \sin u\\ z & = & r\ \sin v.\end{array}\end{eqnarray}

Läßt man zu, daß der Rotationsradius R kleiner als der Radius r der „Torusröhre“ sein darf, so erhält man eine als Spindeltorus bezeichnete selbstdurchdringende Fläche, für r = R als Grenzfall einen sogenannten Horntorus. Eine weitere Verallgemeinerung des Begriffes Torus besteht darin, daß als rotierende Kurve keine Kreislinie, sondern eine beliebige ebene geschlossenene Kurve betrachtet wird.

Aus topologischer Sicht ist ein Torus ein Produkt zweier Kreise und somit eine zweidimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit des Genus (Geschlechts) Eins, also eine Fläche, die genau ein „Loch“ besitzt.

Auch im n-dimensionalen Raum können Tori definiert werden (n-dimensionaler Torus).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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