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Lexikon der Mathematik: totale Wahrscheinlichkeit, Satz von der

elementarer Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Es sei \(({\rm{\Omega}},{\mathfrak{A}},P)\)ein Wahrscheinlichkeitsraum und {A1, …, An} eine aus Ereignissen \({A}_{i}\in {\mathfrak{A}}\)mit P(Ai) > 0, i = 1, …, n, bestehende disjunkte Zerlegung üon Ω. Dann gilt für jedes Ereignis \(B\in {\mathfrak{A}}\)\begin{eqnarray}P(B)=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}P({A}_{i})P(B|{A}_{i}).\end{eqnarray}

Diese Formel gilt auch sinngemäß, wenn die disjunkte Zerlegung aus abzählbar vielen Ereignissen besteht. Der Satz stellt eine Möglichkeit zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(B) dar, wenn lediglich die Wahrscheinlichkeiten P(Ai) für die Elemente der Zerlegung und die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(B|Ai) bekannt sind. Die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit wird beispielsweise im Nenner der Bayesschen Formel verwendet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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