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Lexikon der Mathematik: Totalkrümmung

auch Gesamtkrümmung, das Integral der Gaußschen Krümmung einer regulären Fläche \({\mathcal{F}}\) des ℝ3, erstreckt über ganz \({\mathcal{F}}\) oder eine Teilmenge \({\rm{\Delta}}\subset {\mathcal{F}}\).

Die Bedeutung der Totalkrümmung für die innere Geometrie ergibt sich aus ihrer Beziehung zur Dreiecksgeometrie von \({\mathcal{F}}\). Man definiert ein geodätisches Dreieck mit den Eckpunkten A1, A2, A3 in \({\mathcal{F}}\) als System von drei gerichteten geodätischen Linien γ12, γ23, γ31, den Dreiecksseiten, derart, daß für alle Indexpaare \begin{eqnarray}(i,j)\in \{(1,2),\ (2,3),\ (3,1)\}\end{eqnarray} die Kurve γij den Anfangspunkt Ai und den Endpunkt Aj hat. Man beachte, daß durch drei Punkte von \({\mathcal{F}}\) im allgemeinen, z. B. wenn \({\mathcal{F}}\) die Sphäre S2 ist, eine Dreiecksfläche und die Dreieckswinkel nicht eindeutig festgelegt sind, wie man es von der Geometrie der Ebene gewohnt ist. Unter den obigen Vorgaben sind für ein geodätisches Dreieck in \({\mathcal{F}}\) jedoch ein Umlaufsinn und eine eingeschlossene Dreiecksfläche definiert, sofern die Kurven γij im Bildbereich \({\mathcal{V}}\) einer Parameterdarstellung \begin{eqnarray}{\rm{\Phi}}:{\mathcal{U}}\subset {{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathcal{V}}\subset {\mathcal{F}}\end{eqnarray} liegen, wobei man voraussetzen muß, daß \({\mathcal{U}}\) ein einfach zusammenhängeder Bereich der Ebene ist.

Der aus der elementaren Geometrie der Ebene bekannte Satz über die Winkelsumme im Dreieck verallgemeinert sich auf folgende Weise zu einem Satz über die Winkelsumme in geodätischen Dreiecken:

Sind k die Gaußsche Krümmung, dω das Oberflächenelement von \({\mathcal{F}}\), und \({\rm{\Delta}}\subset {\mathcal{F}}\)ein geodätisches Dreieck mit den Ecken A1, A2, A3und den zugehörigen Innenwinkeln β1, β2, β3, so gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \int \displaystyle \mathop{\int}\limits_{{\rm{\Delta}}}k\ d\omega ={\beta}_{1}+{\beta}_{2}+{\beta}_{3}-\pi.\end{eqnarray}

Somit ist in einer Fläche mit k > 0, z. B. in einer Sphäre, die Winkelsumme eines geodätischen Dreieck immer größer, und in einer Fläche mit negativer Gaußscher Krümmung immer kleiner als π.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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