auch Gesamtkrümmung, das Integral der Gaußschen Krümmung einer regulären Fläche \({\mathcal{F}}\) des ℝ³, erstreckt über ganz \({\mathcal{F}}\) oder eine Teilmenge \({\rm{\Delta}}\subset {\mathcal{F}}\).

Die Bedeutung der Totalkrümmung für die innere Geometrie ergibt sich aus ihrer Beziehung zur Dreiecksgeometrie von \({\mathcal{F}}\). Man definiert ein geodätisches Dreieck mit den Eckpunkten A₁, A₂, A₃ in \({\mathcal{F}}\) als System von drei gerichteten geodätischen Linien γ₁₂, γ₂₃, γ₃₁, den Dreiecksseiten, derart, daß für alle Indexpaare \begin{eqnarray}(i,j)\in \{(1,2),\ (2,3),\ (3,1)\}\end{eqnarray} die Kurve γ_ij den Anfangspunkt A_i und den Endpunkt A_j hat. Man beachte, daß durch drei Punkte von \({\mathcal{F}}\) im allgemeinen, z. B. wenn \({\mathcal{F}}\) die Sphäre S² ist, eine Dreiecksfläche und die Dreieckswinkel nicht eindeutig festgelegt sind, wie man es von der Geometrie der Ebene gewohnt ist. Unter den obigen Vorgaben sind für ein geodätisches Dreieck in \({\mathcal{F}}\) jedoch ein Umlaufsinn und eine eingeschlossene Dreiecksfläche definiert, sofern die Kurven γ_ij im Bildbereich \({\mathcal{V}}\) einer Parameterdarstellung \begin{eqnarray}{\rm{\Phi}}:{\mathcal{U}}\subset {{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathcal{V}}\subset {\mathcal{F}}\end{eqnarray} liegen, wobei man voraussetzen muß, daß \({\mathcal{U}}\) ein einfach zusammenhängeder Bereich der Ebene ist.

Der aus der elementaren Geometrie der Ebene bekannte Satz über die Winkelsumme im Dreieck verallgemeinert sich auf folgende Weise zu einem Satz über die Winkelsumme in geodätischen Dreiecken:

Sind k die Gaußsche Krümmung, dω das Oberflächenelement von \({\mathcal{F}}\), und \({\rm{\Delta}}\subset {\mathcal{F}}\)ein geodätisches Dreieck mit den Ecken A₁, A₂, A₃und den zugehörigen Innenwinkeln β₁, β₂, β₃, so gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \int \displaystyle \mathop{\int}\limits_{{\rm{\Delta}}}k\ d\omega ={\beta}_{1}+{\beta}_{2}+{\beta}_{3}-\pi.\end{eqnarray}

Somit ist in einer Fläche mit k > 0, z. B. in einer Sphäre, die Winkelsumme eines geodätischen Dreieck immer größer, und in einer Fläche mit negativer Gaußscher Krümmung immer kleiner als π.