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Lexikon der Mathematik: Totalvariation

totale Variation, für eine gegebene reellwertige Funktion g einer reellen Variablen das Supremum der Werte \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=1}^{n}|g({x}_{v})-g({x}_{v-1})|,\end{eqnarray} wobei −∞ < x0 < x1 < … < xn < ∞ mit einem n ∈ ℕ ist. Man schreibt für dieses Supremum auch \begin{eqnarray}\displaystyle \int |dg|.\end{eqnarray}

Als Zielbereich kann natürlich statt ℝ zumindest ein normierter Vektorraum betrachtet werden.

Man kann leicht zeigen, daß die Funktionen mit endlicher Totalvariation einen ℝ-Vektorraum bilden, auf dem die Totalvariation eine Halbnorm liefert, wobei genau die konstanten Funktionen den Wert 0 erhalten.

Eine Funktion g ist genau dann von endlicher Totalvariation über ℝ, wenn sie als Differenz von zwei aufisotonen Funktionen mit endlichen Grenzwerten in +∞ und −∞ darstellbar ist.

Diese Bedingung ist hinreichend, weil derartige monotone Funktionen offenbar endliche Totalvariation besitzen, nämlich gerade die absolute Differenz der genannten Grenzwerte. Um umgekehrt zu einem g mit endlicher Totalvariation eine entsprechende Darstellung durch isotone Funktionen anzugeben, verfährt man wie folgt: Für ein a aus ℝ erklärt man eine Funktion ga : ℝ → ℝ durch \begin{eqnarray}{g}_{a}(x):=\left\{\begin{array}{ll}g(x) & (x\le a),\\ g(a) & (x\ge a)\end{array}\right.\end{eqnarray} und definiert damit \begin{eqnarray}v(a):=\displaystyle \underset{}{\overset{a}{\int}}|dg|:=\displaystyle \int |d{g}_{a}|.\end{eqnarray}

Dann erweisen sich die Funktionen \begin{eqnarray}{h}_{1}:=\frac{1}{2}(v+g),\ \ \ \ {h}_{2}:=\frac{1}{2}(v-g)\end{eqnarray} als isotone Funktionen der gewünschten Art mit Differenz g. Im Anschluß daran führt man für ab in ℝ auch \begin{eqnarray}v(b)-v(a):=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int}}|dg|\end{eqnarray} ein. Man erkennt für \(a\lt b:\displaystyle {\int}_{a}^{b}|dg|\) ist das Supremum der Werte \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=1}^{n}|g({x}_{v})-g({x}_{v-1})|,\end{eqnarray} wobei a = x0 < x1 < … < xn = b mit einem n ∈ ℕ ist. Dies ist die „Totalvariation von g über [a, b]“, die man andererseits auch als die Totalvariation über ℝ derjenigen Funktion gewinnen kann, die aus g durch die Abänderung zu g(a) unterhalb a und zu g(b) oberhalb b entsteht. Auf diese Weise wird die Totalvariation über [a, b] auch für nur auf [a, b] erklärte Funktionen definiert. Die ausgeführten Überlegungen zeigen zugleich die Additivität der Totalvariation bezüglich der Integralgrenzen (für −∞ < a < b < c < ∞): \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{c}{\int}}|dg|=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int}}|dg|+\displaystyle \underset{b}{\overset{c}{\int}}|dg|.\end{eqnarray}

Dabei könnte man sinnvoll noch a → −∞ und c → +∞ betrachten. Die oben erhaltene Darstellung durch monotone Funktionen läßt recht direkt erkennen, daß eine Funktion mit endlicher Totalvariation an jeder endlichen Stelle einen rechtsseitigen und einen linksseitigen Grenzwert besitzt, dazu Grenzwerte für x → −∞ und x → ∞. Schließlich kann man zeigen, daß an einer Stelle die Totalvariationsfunktion v genau dann rechts- bzw. linksseitig stetig ist, wenn dies für die Funktion g zutrifft. Leicht sieht man:

Ist g in [a, b] differenzierbar und die Ableitung dort beschränkt, dann ist g über [a, b] von endlicher Totalvariation; ist der Betrag |g′| der Ableitung Riemann-integrierbar, so hat man mit der Darstellung \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int}}|dg|=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int}}|{g}^{\prime}(x)|dx\end{eqnarray}eine wichtige Berechnungsmöglichkeit.

Eine wesentliche Eigenschaft der Totalvariation ist ihre Invarianz gegenüber „Parametertransformationen“: Man betrachtet Funktionen ϕ, die ℝ (streng) isoton auf (!) ℝ (und damit stetig) abbilden, und erkennt sofort, daß mit einer Funktion g auch gϕ endliche Totalvariation besitzt. Dabei gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \int |dg|=\displaystyle \int |d(g\circ \varphi)|.\end{eqnarray}

Dies ist unmittelbar ablesbar, weil aufgrund der Eigenschaften von ϕ jede der in der Definition für die eine Seite auftretende Summe von Beträgen von Differenzen auch als entsprechende Summe für die andere Seite geschrieben werden kann.

Der Begriff der Totalvariation wurde von Camille Marie Ennemond Jordan im Zusammenhang mit der Bestimmung von Kurvenlängen eingeführt.

Siehe auch Funktion von beschränkter Variation.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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