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Lexikon der Mathematik: Transformationsgruppe

eine Gruppe G zusammen mit einer Menge M, auf der die Gruppe G treu operiert.

Eine Gruppenoperation von (G, e, ·) mit e dem Einselement und · der Gruppenmultiplikation, ist eine Abbildung \begin{eqnarray}G\times M\to M,\ \ \ \ \ \ \ (g,m)\mapsto g\cdot m,\end{eqnarray} für die für alle f, gG und mM gilt: \begin{eqnarray}e\cdot m=m,\ \ \ \ \ \ \ \ (f\cdot g)\cdot m=f\cdot (g\cdot m).\end{eqnarray}

Die Gruppe operiert treu, falls gilt \begin{eqnarray}f\cdot m=m,\ \ \ \ \ \ \ \ \forall m\in M\Rightarrow f=e.\end{eqnarray}

Es bezeichne SM die Menge der bijektiven Selbstabbildungen der Menge M. Durch Hintereinanderausführen der Abbildung wird eine Multiplikation definiert, die SM zu einer Gruppe macht. SM heißt die Permutationsgruppe von M. Ist M die endliche Menge {1, 2, …, n}, so erhält man die endliche Permutationsgruppe Sn. Ist M eine beliebige endliche Menge mit n Elementen, so ist SM isomorph zu Sn. Der Isomorphismus wird durch eine Numerierung der Elemente gegeben.

Ist eine beliebige Gruppenoperation von G auf einer Menge M gegeben, so wird dadurch ein Gruppenhomomorphismus Φ : GSM definiert. Der Kern von Φ besteht aus den Elementen von G, die trivial auf allen Elementen von M operieren. Die Gruppenoperation ist treu genau dann, wenn Kern Φ = {e}. Im Fall einer treuen Gruppenoperation kann G deshalb mit einer Untergruppe von SM identifiziert werden. Die Permutationsgruppe SM und all ihre Untergruppen sind per Definition Transformationsgruppen der Menge M. In diesem Sinne kann man Transformationsgruppen auch als Untergruppen von Permutationsgruppen definieren.

Jede Gruppe G tritt als Transformationsgruppe auf. Als Menge M nehme man etwa G selbst und lasse G durch Linkstranslation (g, m) ↦ g · m auf sich selbst operieren.

Ist G endlich, so nennt man G eine endliche Transformationsgruppe. Ist M ebenfalls endlich, etwa #M = n, so ist G isomorph zu einer Untergruppe von Sn.

Hat man eine Transformationsgruppe G zusammen mit der Menge M gegeben, so kann man nützliche Informationen sowohl über die Gruppe G als auch über die Menge M erhalten.

Hat die Menge M eine zusätzliche Struktur, so ist es sinnvoll, nur solche Gruppenoperationen zu betrachten, die diese Struktur erhalten. IstM z. B. ein reeller Vektorraum, so betrachtet man Gruppenoperationen, für welche die Operation jedes Gruppenelements linear auf M ist. Man erhält in dieser Weise eine Einbettung von G in GL(M). Die Gruppe G wird realisiert als lineare Gruppe. Dieser Fall hat besondere Bedeutung in der Geometrie. Man studiert z. B. spezielle Objekte und Größen, die invariant unter gewissen Transformationsgruppen, z.B. den Drehgruppen, bleiben (Geometrie klassischer Gruppen). Umgekehrt untersucht man, welche lineare Gruppen ein gegebenes geometrisches Objekt invariant lassen. Die Gruppenoperationen nennt man Symmetrien des Objekts. Dies führt z. B. auf die Theorie der kristallographischen Gruppen, die die Symmetrie der Kristalle beschreiben, und auf die Theorie der Symmetriegruppen platonischer Körper.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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