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Lexikon der Mathematik: Transformationssatz für μ-Integrale

lautet:

Es sei \(({\rm{\Omega}},{\mathcal{A}},\mu)\)ein Maßraum, \(({{\rm{\Omega}}}^{\prime},{{\mathcal{A}}}^{\prime})\)ein Meßraum, T : Ω → Ω′ eine \({\mathcal{A}}-{{\mathcal{A}}}^{\prime}\)-meßbare Abbildung und \(f:{{\rm{\Omega}}}^{\prime}\to \bar{{\mathbb{R}}}\)eine meßbare Funktion.

Dann gilt, mit T(μ) als Bildmaß von μ auf \({{\mathcal{A}}}^{\prime}\):

  1. Falls f T(μ)-integrierbar ist, so ist fT μintegrierbar und umgekehrt.
  2. Falls f T(μ)-integrierbar ist oder f ≥ 0 ist, so folgt \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{{A}^{\prime}}fdT(\mu)=\displaystyle \mathop{\int}\limits_{{T}^{-1}({A}^{\prime})}f\circ Td\mu \end{eqnarray}für alle \({A}^{\prime}\in {{\mathcal{A}}}^{\prime}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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