Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Transformationsverfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen

transformieren die Matrix, deren Eigenwerte gesucht sind, durch eine endliche oder unendliche Folge von Ähnlichkeitstransformationen in eine einfachere Gestalt, von welcher die Eigenwerte der Matrix direkt abgelesen werden können.

Transformationsmethoden sind Methoden, bei denen die Matrix A, deren Eigenwerte gesucht sind, selbst in jedem Iterationsschritt verändert wird. Typischerweise wird in jedem Iterationsschritt eine nichtsinguläre (idealerweise unitäre) Transformationsmatrix Xj berechnet und die Folge von Matrizen \begin{eqnarray}{A}_{j}={X}_{j}^{-1}{A}_{j-1}{X}_{j}\end{eqnarray} gebildet, wobei A0 = A gesetzt wird. Da alle Iterationsmatrizen Aj zueinander ähnlich sind, haben sie alle dieselben Eigenwerte. Ziel der Iteration ist es, A in eine Matrix zu transformieren, von der die Eigenwerte abgelesen werden können. Beispielsweise existiert zu jeder reellen Matrix A eine unitäre Matrix Q so, daß QHAQ eine obere Dreiecksmatrix ist (Schur-Zerlegung von A). Von der Diagonalen dieser Dreiecksmatrix lassen sich dann die Eigenwerte ablesen, die Spalten von Q geben Informationen über die zugehörigen Eigenvektoren (bzw. invarianten Unterräume). Da die Matrix Q nicht direkt in endlich vielen Schritten berechenbar ist, versucht man nun, durch eine geeignete Folge von Iterationsschritten Q als unendliches Produkt von unitären Matrizen Xj aufzubauen. Dabei wählt man Xj in jedem Schritt so, daß Aj in einem gewissen Sinne näher an einer oberen Dreiecksmatrix ist als Aj−1. Praktisch muß die Berechnung nach endlich vielen Schritten abgebrochen werden, z. B. dann, wenn die Elemente im unteren Dreieck der Iterationsmatrix Aj klein genug sind.

Die beiden bekanntesten Verfahren dieser Art sind das Jacobi-Verfahren zur Lösung von symmetrischen Eigenwertproblemen und der QR-Algorithmus zur Lösung eines symmetrischen oder eines allgemeinen Eigenwertproblems. Beide Verfahren sind hauptsächlich für Matrizen kleiner bis mittlerer Größe geeignet. Sie berechnen alle Eigenwerte einer Matrix A.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos