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Lexikon der Mathematik: transkritische Bifurkation

spezielle Bifurkation.

Es sei (μ, x) → Φμ(x) eine Cr-Abbildung (r ≥ 2) von J × W nach E, wobei W eine offene Teilmenge des Banachraumes E, μJ und J ⊂ ℝ sei. Sei (0, 0) ∈ J × W Fixpunkt von Φμ(x), also Φμ(0) = 0. Das Spektrum von D0Φ0 sei in {z : |z| < 1} enthalten, außer für einen einfachen Eigenwert αμ, d. h. es ist \({D}_{x}^{2}{{\rm{\Phi}}}_{{\mu}_{0}}\ne 0\). Somit ist \({{\rm{\Phi}}}_{{\mu}_{0}}(0)\) tangential im Verzweigungspunkt. Da \(\frac{d}{d\mu}{{\rm{\Phi}}}_{{\mu}_{0}}(0)=0\), ist \(\frac{{d}^{2}{{\rm{\Phi}}}_{{\mu}_{0}}(0)}{d\mu dx}\ne 0\) und es kommt zu einem Stabilitätsaustausch im Verzweigungspunkt (x0, μ0) = (0, 0).

Die transkritische Bifurkation einer Abbildung hat die Kodimension 1. Die transkritische Bifurkation wird durch die Differentialgleichung \(\dot{x}=\mu x-{x}^{2}\) reprasentiert, deren Fixpunkte x1 = 0 und x2 = μ sind. Sie ist in die Normalform der Sattel-Knoten-Bifurkation überführbar. Die Bifurkation ist für x1 stabil, wenn μ < 0, und instabil für μ > 0 (umgekehrt für x2). Im Gegensatz zur Sattel-Knoten-Bifurkation exsitieren für die transkritische Bifurkation für alle Werte von μ Fixpunkte.

[1] Plaschko, P.; Brod, K.: Nichtlineare Dynamik, Bifurkationen und Chaotische Systeme. Vieweg, 1995.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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