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Lexikon der Mathematik: Transportgleichung

spezielle lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung der allgemeinen Form \begin{eqnarray}{u}_{t}+b\cdot \nabla u=f\end{eqnarray} mit der unbestimmten Funktion u(x, t) in einer Raumvariablen x ∈ ℝn und der Zeitvariablen t. Der Vektor b ∈ ℝn sei vorgegeben, ebenso die Funktion f. ∇u bezeichne den Gradienten von u bzgl. der Raumvariablen x.

Im homogenen Fall (f = 0) erhält man für das zugehörige Anfangswertproblem \begin{eqnarray}{u}_{t}+b\cdot \nabla u=0,\ \ \ u(x,0)=g\end{eqnarray} mit vorgegebenem g = g(x) eine Lösung aus dem Ansatz u(x, t) = g(xtb), falls g hinreichend glatt ist. Im inhomogenen Fall (f ≠ 0) ergibt sich die Lösung als \begin{eqnarray}u(x,t)=g(x-tb)+\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int}}f(x+(s-t)b,s)\ ds.\end{eqnarray}

In der Mathematischen Biologie werden Transportgleichungen benutzt, um Partikel (z. B. die run/tumble-Bewegung von Bakterien) zu beschreiben, die individuelle Geschwindigkeiten oder Bewegungsrichtungen haben. Transportgleichungen liefern eine feinere Beschreibung als z. B. Reaktions-Diffusionsgleichungen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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