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Lexikon der Mathematik: Trennungssätze

Sätze über die Trennbarkeit bestimmter Teilmengen topologischer Vektorräume durch Hyperebenen.

Es sei V ein reeller topologischer Vektorraum. Dann heißt eine Menge MV eine lineare Mannigfaltigkeit, falls es einen Teilvektorraum U von V und ein x0V gibt, so daß M = U + x0 gilt. Eine von V verschiedene lineare Mannigfaltigkeit H heißt eine Hyperebene, falls für jede lineare Mannigfaltigkeit M mit HMV gilt: H = M oder M = V, d. h. eine Hyperebene ist maximal unter allen von V verschiedenen linearen Mannigfaltigkeiten von V. Für jede Hyperebene H kann man das Komplement V \ H von H auf genau eine Weise als Vereinigung zweier konvexer Mengen H+ und H darstellen, die als die beiden von H bestimmten Halbebenen bezeichnet werden.

Man sagt, eine Menge AV liegt auf einer Seite von H, falls \begin{eqnarray}A\subseteq H\cup {H}_{+}\ \ \text{order}\ \ A\subseteq H\cup {H}_{-}\end{eqnarray} gilt. A liegt strikt auf einer Seite von H, falls \begin{eqnarray}A\subseteq {H}_{+}\ \ \text{order}\ \ A\subseteq {H}_{-}\end{eqnarray} gilt. Sind weiterhin A und B zwei Teilmengen von V, so sagt man, H trennt A und B, falls A und B auf verschiedenen Seiten von H liegen. Liegen A und B sogar strikt auf zwei verschiedenen Seiten von H, so sagt man, daß H die Mengen strikt trennt.

Nun gilt der erste Trennungssatz:

Es seien V ein reeller topologischer Vektorraum, A, BV konvex, B ≠ ∅. Ist das offene Innere A0von A ebenfalls nicht leer, aber A0B = ∅, so gibt es eine abgeschlossene Hyperebene H, die A und B trennt. Falls A und B offen sind, trennt H die Mengen A und B strikt.

Bei stärkeren Voraussetzungen an die Mengen A und B kommt man zum Trennungssatz für konvexe kompakte Mengen.

Es seien V ein reeller lokalkonvexer topologischer Vektorraum, A, BV konvex und nicht leer, A abgeschlossen, B kompakt und AB = ∅. Dann gibt es eine abgeschlossene Hyperebene H, die A und B strikt trennt.

Die Trennungssätze lassen sich aus den Hahn-Banach-Sätzen herleiten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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