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Lexikon der Mathematik: tridiagonales Gleichungssystem

Gleichungssystem, bei dem in der i-ten Gleichung nur die Unbekannten xi−1, xi und xi+1 auftreten.

Anders ausgedrückt, ein Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ ℝn×n und b ∈ ℝn, wobei aij ≠ 0 nur für i = 1, …, n und j = i − 1 oder j = i + 1 auftreten kann, und sonst aij = 0 gilt. Entsprechend nennt man eine solche Matrix A auch tridiagonale Matrix oder Tridiagonalmatrix.

Tridiagonale Gleichungssysteme sind sehr leicht mittels des Gauß-Verfahrens bzw. der LR-Zerlegung zu lösen. Setzt man zur Vereinfachung voraus, daß das Gauß-Verfahren ohne Permutierung durchführbar ist, so ergibt sich eine LR-Zerlegung der tridiagonalen Matrix A = LR, wobei L eine bidiagonale untere Dreiecksmatrix und R eine bidiagonale obere Dreiecksmatrix ist.

Für n = 4 erhält man beispielsweise \begin{eqnarray}\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1} & {b}_{1} & & \\ {c}_{1} & {a}_{2} & {b}_{2} & \\ & {c}_{2} & {a}_{3} & {b}_{3}\\ & & {c}_{3} & {a}_{4}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}1 & & & \\ {l}_{1} & 1 & & \\ & {l}_{2} & 1 & \\ & & {l}_{3} & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{m}_{1} & {r}_{1} & & \\ & {m}_{2} & {r}_{2} & \\ & & {m}_{3} & {r}_{3}\\ & & & {m}_{4}\end{array}\right].\end{eqnarray}

Hieraus lassen sich leicht die unbekannten Größen lj, mj, rj bestimmen: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{m}_{1}={a}_{1}\\ \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ i=1,2,\ldots,n-1\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {l}_{i}={c}_{i}/{m}_{i}\\ \ \ \ \ \ \ \ {m}_{i+1}={a}_{i+1}-{l}_{i}{b}_{i}\\ \ \ \ \ \ \ \ {r}_{i}={b}_{i}\end{array}\end{eqnarray}

Mittels Vorwärtseinsetzen Ly = d und Rückwärtseinsetzen Rx = y bestimmt man nun x: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{y}_{1}={d}_{1}\\ \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ i=1,2,\ldots,n-1\\ \ \ \ \ \ \ \ {y}_{i}={d}_{i}-{l}_{i-1}{y}_{i-1}\\ {x}_{n}={y}_{n}/{m}_{n}\\ \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ i=1,2,\ldots,n-1\\ \ \ \ \ \ \ \ {x}_{i}=({y}_{i}+{b}_{i}{x}_{i+1})/{m}_{i}\end{array}\end{eqnarray}

Der Rechenaufwand, den man zur Lösung eines tridiagonalen Gleichungssystems benötigt, ist somit nur proportional zur Zahl der Unbekannten. Selbst große tridiagonale Gleichungssysteme lassen sich mit relativ geringem Rechenaufwand lösen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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