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Lexikon der Mathematik: trigonalisierbar

Bezeichnung für einen Endomorphismus ϕ : VV auf einem n-dimensionalen Vektorraum V, der sich bzgl. einer geeigneten Basis von V durch eine obere Dreiecksmatrix repräsentieren läßt.

Der Endomorphismus ϕ ist genau dann trigonalisierbar, falls sein charakteristisches Polynom Pϕ (x) über \({\mathbb{K}}\) in Linearfaktoren zerfällt: \begin{eqnarray}{P}_{\varphi}(x)=(x-{\lambda}_{1})(x-{\lambda}_{2})\cdots (x-{\lambda}_{n}).\end{eqnarray}

Endomorphismen auf endlich-dimensionalen komplexen Vektorräumen sind also stets trigonalisierbar. In der Hauptdiagonalen einer den trigonalisierbaren Endomorphismus ϕ repräsentierenden Matrix stehen dann gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Eine (n × n)-Matrix A über \({\mathbb{K}}\) ist genau dann trigonalisierbar, falls eine reguläre Matrix R so existiert, daß RAR−1 eine obere Dreiecksmatrix ist.

Anstelle von trigonalisierbar sagt man auch triangulierbar. Den Vorgang, eine gegebene Matrix auf obere Dreiecksform zu bringen, nennt man Trigonalisierung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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