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Lexikon der Mathematik: Trigonometrie

(griech. Dreiwinkelmessung), Lehre von der Dreiecksberechnung unter Anwendung der Winkelfunktionen (die auch als trigonometrische Funktionen bezeichnet werden).

Neben der „gewöhnlichen“ ebenen Trigonometrie, die in der Euklidischen Geometrie zur Anwendung kommt, gibt es für Berechnungen an Dreiecken auf der Kugeloberfläche die sphärische Trigonometrie und für Dreiecksberechnungen in der hyperbolischen Geometrie die hyperbolische Trigonometrie.

Bei trigonometrischen Berechnungen wird zwischen rechtwinkligen und beliebigen (i. allg. nicht rechtwinkligen) Dreiecken unterschieden. In rechtwinkligen Dreiecken gelten die folgenden trigonometrischen Beziehungen:

  • Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist gleich dem Quotienten aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Hypotenuse,
  • der Cosinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist gleich dem Quotienten aus der Länge der Ankathete und der Länge der Hypotenuse, sowie
  • der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist gleich dem Quotienten aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Ankathete.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Trigonometrie
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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In einem Dreieck mit den in der Abbildung eingeführten Bezeichnungen der Seiten und Winkel gelten also die folgenden Formeln: \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\sin \alpha =\displaystyle\displaystyle\frac{a}{c}, & \sin \beta =\displaystyle\frac{b}{c},\\ \cos \alpha =\displaystyle\frac{b}{c}, & \cos \beta =\displaystyle\frac{a}{c},\\ \tan \alpha =\displaystyle\frac{a}{b}, & \tan \beta =\displaystyle\frac{b}{a}.\end{array}\end{eqnarray}

Zusätzlich werden bei Berechnungen gesuchter Größen rechtwinkliger Dreiecke noch der Satz des Pythagoras sowie die Tatsache verwendet, daß die Summe der beiden spitzen Winkel 90° beträgt.

Für Berechnungen in beliebigen ebenen Dreiecken werden der Sinussatz und der Cosinussatz verwendet. In einem Dreieck mit den Seiten a, b, und c sowie den jeweils gegenüberliegenden Innenwinkeln α, β und γ gelten also die Gleichungen: \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}\displaystyle\frac{a}{\sin \alpha} & = & \displaystyle\frac{b}{\sin \beta}=\displaystyle\frac{c}{\sin \gamma}\\ {a}^{2} & = & {b}^{2}+{c}^{2}-2\ b\ c\cdot \cos \alpha,\\ {b}^{2} & = & {a}^{2}+{c}^{2}-2\ a\ c\cdot \cos \beta,\ \text{und}\\ {c}^{2} & = & {a}^{2}+{b}^{2}-2\ a\ b\cdot \cos \gamma.\end{array}\end{eqnarray}

Zusätzlich kommt zur Berechnung fehlender Winkel (oft in Kombination mit den o. a. trigonometrischen Formeln) häufig der Satz über die Winkelsumme im Dreieck zur Anwendung.

Die Anfänge der Trigonometrie gehen in die Antike zurück. Aristarch von Samos verwendete die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke für die Berechnung des Verhältnisses der Entfernungen des Mondes und der Sonne zur Erde (ca. 280 v.Chr.). Sowohl Hipparch von Nizäa als auch Ptolemäus (beide ca. 150 v.Chr.) berechneten sogenannte Sehnentabellen (anstelle des Sinus wurden Längen von Sehnen zu gegebenen Zentriwinkeln im Einheitskreis verwendet).

In der Folgezeit wurde die Trigonometrie vor allem in Arabien und Indien weiter ausgebaut. Erst gegen Ende des Mittelalters und mit den beginnenden großen geographischen Entdeckungen wurde der Trigonometrie in Europa größere Aufmerksamkeit zuteil. Die führende mathematische Persönlichkeit des 15. Jahrhunderts in Europa, Regiomontanus (Johannes Müller) verfaßte 1464 das Werk „De triangulis omnimodis libri quinque“, das allerdings erst 1533(!) gedruckt wurde. Es enthält eine vollständige Einführung in die Trigonometrie und erlangte größten Einfluß auf die europäische Mathematik. Die Trigonometrie wurde dadurch zu einer von der Astronomie unabhängigen, eigenständigen Wissenschaft.

Die heutige Kurzschreibweise und die analytische Darstellung der trigonometrischen Funktionen geht im wesentlichen auf L. Euler zurück.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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