beste Approximation mit trigonometrischen Polynomen.

Bei der trigonometrischen Approximation handelt es sich um ein klassisches Teilgebiet der Approximationstheorie, welches die Näherung periodischer Funktionen mit trigonometrischen Summen der Form \begin{eqnarray}{s}_{n}(x)={a}_{0}+\displaystyle \sum _{v=1}^{n}{a}_{v}\cos (vx)+{b}_{v}\ \sin (vx),\end{eqnarray} (trigonometrischen Polynomen) untersucht.

Betrachtet man die Fourier-Reihenentwicklung \begin{eqnarray}\frac{{A}_{0}}{2}+\displaystyle \sum _{v=1}^{n}{A}_{v}\cos (vx)+{B}_{v}\ \sin (vx)\end{eqnarray} einer stetigen 2π-periodischen Funktion f, wobei \begin{eqnarray}{A}_{v} = \frac{1}{\pi}\displaystyle \underset{-\pi}{\overset{\pi}{\int}}f(t)\cos (vt)dt,\\ {B}_{v} = \frac{1}{\pi}\displaystyle \underset{-\pi}{\overset{\pi}{\int}}f(t)\sin (vt)dt,\end{eqnarray} so ist deren Konvergenz im allgemeinen nicht gewährleistet. Deshalb können die Partialsummen der Fourier-Reihenentwicklung \begin{eqnarray}{s}_{n}(f)(x)=\frac{{A}_{0}}{2}+\displaystyle \sum _{v=1}^{n}{A}_{v}\cos (vx)+{B}_{v}\ \sin (vx)\end{eqnarray} im allgemeinen nicht direkt zur Approximation einer solchen Funktion f hinsichtlich der Maximumnorm ∥·∥_∞ verwendet werden, wenngleich sie eine beste Approximation hinsichtlich der L₂-Norm darstellen.

L. Fejér bewies jedoch 1904 in seinen Untersuchungen über Fourierreihen den folgenden Satz über die Konvergenz der gemittelten Summen \begin{eqnarray}{t}_{n}(f)(x)=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{v=0}^{n-1}{s}_{v}(f)(x),\ \ n\in {\mathbb{N}}.\end{eqnarray}

Für jede stetige 2π-periodische Funktion f konvergieren die gemittelten Summen t_n (f) für n → ∞ gleichmäßig gegen f.

Dieser Satz stellt eine explizite Realisierung des zweiten Weierstraßschen Approximationssatzes für trigonometrische Polynome dar.

In den sechziger Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts wurden die Konvergenzeigenschaften von allgemeineren Operatoren der Form _{A 0}ⁿ \begin{eqnarray}{k}_{n}(f)(x)=\frac{{A}_{0}}{2}+\displaystyle \sum _{v=1}^{n}{\varrho}_{v}^{(n)}({A}_{v}\cos (vx)+{B}_{v}\ \sin (vx)),\end{eqnarray} wobei \({\varrho}_{v}^{(n)}\in {\mathbb{R}}\), v = 1, …, n, n ∈ ℕ, untersucht. Solche Operatoren besitzen die Integraldarstellung \begin{eqnarray}{k}_{n}(f)(x)=\frac{1}{\pi}\displaystyle \underset{-\pi}{\overset{\pi}{\int}}f(t)(\frac{1}{2}+\displaystyle \sum _{v=1}^{n}{\varrho}_{v}^{(n)}\cos (v(t-x)))dt.\end{eqnarray}

Der nächste Satz über die Konvergenz solcher Operatoren k_n(f) stammt von P.P. Korowkin.

Es gelte \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\mapsto \infty}{\varrho}_{1}^{(n)}=1\end{eqnarray}und, für alle x ∈ ℝ, \begin{eqnarray}\frac{1}{2}+\displaystyle \sum _{v=1}^{n}{\varrho}_{v}^{(n)}\cos (vx)\ge 0.\end{eqnarray}

Dann konvergieren die Summen k_n (f) für jede stetige 2π-periodische Funktion f für n → ∞ gleichmäßig gegen f.

Die folgende Fehlerabschätzung für die Näherung mit k_n(f) wurde ebenfalls von P.P. Korowkin gefunden.

Es sei ω_f der Stetigkeitsmodul einer vorgegebenen stetigen 2π-periodischen Funktion f, das heißt also \begin{eqnarray}{\omega}_{f}(\delta)=\sup \{|f(x)-f(y)|:|x-y|\le \delta,\ \ x,y\in [a,b]\}.\end{eqnarray}

Dann gilt unter den Voraussetzungen des vorherigen Satzes: \begin{eqnarray}|f(x)-{k}_{n}(x)|\le {\omega}_{f}(\delta)(1+\frac{\pi}{\delta \sqrt{2}}\sqrt{1-{\varrho}_{1}^{(n)}}),\end{eqnarray}wobei δ eine positive Zahl ist.

Die trigonometrischen Polynome \begin{eqnarray}\{1,\sin (x),\ldots,\sin (nx),\ \ \cos (x),\ldots,\cos (nx)\}\end{eqnarray} bilden ein Tschebyschew-System auf [−π, π), damit existiert stets eine eindeutig beste Approximation hinsichtlich der Maximumnorm ∥·∥_∞.

Der folgende Satz über den Fehler \begin{eqnarray}{E}_{n}(f)=\min \{{\Vert f-s\Vert}_{\infty}:s\in {T}_{n}\}\end{eqnarray} der besten Approximation mit trigonometrischen Summen wurde 1911 von D. Jackson bewiesen. Er beschreibt das asymptotische Verhalten und die Konvergenzordnung der Näherung von periodischen Funktionen mit trigonometrischen Summen.

Es sei f eine vorgegebene k-mal stetig differenzierbare 2π-periodische Funktion, mit der Eigenschaft, daß die k-te Ableitung von f, f^(k), der Lipschitzbedingung \begin{eqnarray}|{f}^{(k)}(x)-{f}^{(k)}(y)|\le M{|x-y|}^{\alpha}\end{eqnarray}genügt, wobei α ∈ (0, 1] und M > 0 eine Konstante ist. Dann gilt \begin{eqnarray}{E}_{n}(f)\le {c}^{k+1}M{n}^{-k-\alpha},\end{eqnarray}wobei \(c=1+\frac{{\pi}^{2}}{2}\).

S.N. Bernstein entdeckte 1912, daß sich die Ableitung einer trigonometrischen Summe \({s}_{n}^{\prime}\) durch die Maximumnorm von s_n abschätzen läßt. Der folgende Satz beschreibt die sogenannte Bernsteinsche Ungleichung für trigonometrische Summen.

Für alle x ∈ ℝ gilt \begin{eqnarray}|{s}_{n}^{\prime}(x)|\le n{\Vert {s}_{n}\Vert}_{\infty}.\end{eqnarray}

Das Beispiel s_n(x) = sin(nx) zeigt, daß diese Abschätzung im allgemeinen nicht verbessert werden kann.

[1] Meinardus, G.: Approximation of Functions: Theory and Numerical Methods. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1967.