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Lexikon der Mathematik: trigonometrische Interpolation

Konstruktion eines trigonometrischen Polynoms, das an ausgewählten Stützstellen vorgegebene Werte annimmt.

Seien x0, …, x2n ∈ [0, 2π), xjxk für jk und y0, …, y2n ∈ ℝ beliebig. Dann existiert genau ein trigonometrisches Polynom \begin{eqnarray}T(x)=\frac{{a}_{0}}{2}+\displaystyle \sum _{k=1}^{n}({a}_{k}\cos kx+{b}_{k}\sin kx),\ \ x\in {\mathbb{R}}\end{eqnarray} mit T(xj) = yj für j = 0, …, 2n. Es gilt \begin{eqnarray}T(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}{y}_{k}{t}_{k}(x)\end{eqnarray} mit den Fundamentalpolynomen \begin{eqnarray}\left.{t}_{k}(x)=\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne k\end{array}}\sin \frac{x-{x}_{j}}{2}\right/\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne k\end{array}}\sin \frac{{x}_{k}-{x}_{j}}{2}.\end{eqnarray}

Im Falle äquidistanter Stützstellen \begin{eqnarray}{x}_{k}=2k\pi /(2n+1),\ \ \ k=0,\ldots,2n,\end{eqnarray} gilt \begin{eqnarray}{a}_{0}=\frac{2}{2n+1}\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}{y}_{k}\end{eqnarray} sowie \begin{eqnarray}{a}_{l}=\frac{2}{2n+1}\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}{y}_{k}\cos l{x}_{k}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{b}_{l}=\frac{2}{2n+1}\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}{y}_{k}\sin l{x}_{k}\end{eqnarray} für l = 1, …, n.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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